PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 21 da UNICAMP 2017

1ª fase · Matemática: Sistemas lineares

Sejam a e b números reais. Considere, então, os dois sistemas lineares abaixo, nas variáveis x, y e z:

\begin{cases} x - y = a, \\ z - y = 1, \end{cases} \quad \text{e} \quad \begin{cases} x + y = 2, \\ y + z = b. \end{cases}

Sabendo que esses dois sistemas possuem uma solução em comum, podemos afirmar corretamente que

  1. A
    a - b = 0.
  2. B
    a + b = 1.
  3. C
    a - b = 2.
  4. D
    a + b = 3.
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Resolução comentada

Uma solução comum é um trio (x,y,z) que satisfaz as quatro equações ao mesmo tempo. Então basta combinar as equações para eliminar x, y e z e achar a relação entre a e b.

  1. Do primeiro sistema: x = a + y e z = 1 + y.
  2. Substituindo x na primeira equação do segundo sistema: (a + y) + y = 2, ou seja, 2y = 2 - a.
  3. Substituindo z na segunda equação do segundo sistema: y + (1 + y) = b, ou seja, 2y = b - 1.
  4. Como os dois resultados são iguais a 2y: 2 - a = b - 1.
  5. Isolando: a + b = 3.

Conferindo com um exemplo: tomando y = 1, temos x = 1 (pois x + y = 2), logo a = x - y = 0. Também z = 2 e b = y + z = 3. Então a + b = 3, como esperado.

Portanto a relação necessária entre a e b é a + b = 3.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aa-b=0 não segue das equações; no exemplo y=1 temos a=0 e b=3, e a-b=-3.
  • Ba+b=1 resulta de erro de sinal ao igualar 2-a e b-1; o correto dá a+b=3.
  • Ca-b=2 não é consequência do sistema; no exemplo a-b=-3.

Assunto: Sistemas lineares.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2017. Prova oficial ↗