PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 da UNICAMP 2017

1ª fase · Matemática: Matrizes e determinantes

Sendo a um número real, considere a matriz A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. Então, A^{2017} é igual a

  1. A
    \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
  2. B
    \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
  3. C
    \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
  4. D
    \begin{pmatrix} 1 & a^{2017} \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
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Resolução comentada

O caminho é calcular as primeiras potências de A e procurar um padrão.

  1. Calculando A^2:
A^2 = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + a\cdot 0 & 1\cdot a + a\cdot(-1) \\ 0\cdot 1 + (-1)\cdot 0 & 0\cdot a + (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

  1. Como A^2 = I, as potências se repetem de dois em dois: A^3 = A^2\cdot A = A, A^4 = I, e assim por diante.

  2. Potência par dá I; potência ímpar dá A.

  3. Escrevendo o expoente: 2017 = 2\cdot 1008 + 1, então

A^{2017} = (A^2)^{1008}\cdot A = I^{1008}\cdot A = A

Logo, A^{2017} = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem eleva cada elemento da matriz a 2017, e a A engana quem esquece que o expoente é ímpar.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ o resultado das potências pares (A^2 = I), mas 2017 é ímpar.
  • CMatriz sem relação com as potências de A; não aparece em nenhuma delas.
  • DEleva apenas o elemento a ao expoente, mas potência de matriz não se faz elemento a elemento.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2017. Prova oficial ↗