PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 da UNICAMP 2017

1ª fase · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Seja f(x) uma função tal que para todo número real x temos que xf(x - 1) = (x - 3)f(x) + 3. Então, f(1) é igual a

  1. A
    0.
  2. B
    1.
  3. C
    2.
  4. D
    3.
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Resolução comentada

A igualdade vale para todo x real. Então podemos escolher valores de x que simplifiquem a conta. O objetivo é chegar a f(1), e o termo f(x-1) conecta f(1) a f(0).

Primeiro, escolhemos x = 0, que anula o lado esquerdo, pois 0\cdot f(-1)=0:

  1. 0\cdot f(-1) = (0-3)f(0) + 3
  2. 0 = -3f(0) + 3
  3. f(0) = 1

Agora escolhemos x = 1, que faz aparecer f(0) no lado esquerdo e f(1) no direito:

  1. 1\cdot f(0) = (1-3)f(1) + 3
  2. 1 = -2f(1) + 3
  3. -2f(1) = -2
  4. f(1) = 1

Para conferir, a função constante f(x)=1 satisfaz a relação: o lado esquerdo vale x\cdot 1 = x e o direito vale (x-3)\cdot 1 + 3 = x. Ela também dá f(0)=1 e f(1)=1, o que confirma o resultado.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResulta de errar o sinal ao isolar f(1), ou de supor f(0)=0 por causa do fator x=0, sem resolver -3f(0)+3=0.
  • CVem de errar a álgebra em 1=-2f(1)+3, por exemplo trocando o sinal e obtendo 2f(1)=... com valor incorreto.
  • DConfunde f(1) com a constante 3 da equação, sem resolver o sistema.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2017. Prova oficial ↗