PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 54 da UNICAMP 2016

1ª fase · Matemática: Números complexos

Considere o número complexo z = \frac{1 + ai}{a - i}, onde a é um número real e i é a unidade imaginária, isto é, i^2 = -1. O valor de z^{2016} é igual a

  1. A
    a^{2016}
  2. B
    1.
  3. C
    1 + 2016i.
  4. D
    i.
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Resolução comentada

A ideia é simplificar z antes de elevar à potência 2016.

Observe que o numerador pode ser escrito em função do denominador. Multiplicando o denominador a - i por i:

i(a - i) = ai - i^2 = ai + 1 = 1 + ai

Logo o numerador é exatamente i vezes o denominador:

z = \frac{1 + ai}{a - i} = \frac{i(a - i)}{a - i} = i

Isso vale para qualquer a real, pois a - i \neq 0 (a parte imaginária é -1).

Agora precisamos de i^{2016}. As potências de i se repetem de 4 em 4:

i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1

Para achar i^{2016}, dividimos o expoente por 4: 2016 = 4 \cdot 504 + 0, resto 0. Então:

z^{2016} = i^{2016} = (i^4)^{504} = 1^{504} = 1

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Atrata a como se z fosse igual a a, mas z=i não depende de a.
  • Cusa a ideia errada de que (1+x)^n \approx 1+nx; não há fundamento nesta questão.
  • Dcalcula i^{2016} com resto 1 na divisão por 4, mas o resto é 0.

Assunto: Números complexos.

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Ver como caiu na prova Questão 54 no caderno Q da UNICAMP 2016

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2016. Prova oficial ↗