Questão 53 da UNICAMP 2016

Se r e -r são raízes de p(x)=x^3+x^2-ax-3, então p(r)=0 e p(-r)=0.

1. Escreva as duas equações:
   

   r^3+r^2-ar-3=0 \quad (I)
   
   
   -r^3+r^2+ar-3=0 \quad (II)

2. Some (I) e (II): os termos em r^3 e em ar se cancelam e sobra
   

   2r^2-6=0 \Rightarrow r^2=3.

3. Subtraia (II) de (I):
   

   2r^3-2ar=0 \Rightarrow 2r(r^2-a)=0.
   
   Como r^2=3, r\neq 0, então a=r^2=3.

4. Com a=3, o polinômio é p(x)=x^3+x^2-3x-3. Calcule em x=1:
   

   p(1)=1+1-3-3=-4.

Conferência: p(x)=x^2(x+1)-3(x+1)=(x+1)(x^2-3), cujas raízes são -1 e \pm\sqrt3, e \pm\sqrt3 são de fato opostas. Logo p(1)=2\cdot(1-3)=-4.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com p(1); não resulta de a=3 substituído em x=1 (o erro típico é errar os sinais dos termos).
• BIgnora o termo -3 ou erra o sinal de -ax, obtendo um valor positivo incorreto.
• CResulta de erro de conta, como usar a=1 ou perder um dos termos, e não de a=3.

Assuntos: Polinômios, Equações polinomiais e relações de Girard.

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