Questão 52 da UNICAMP 2016

Seja r o raio da base do cilindro. Como a altura é igual ao diâmetro, h = 2r.

Se o cilindro está inscrito na esfera, os círculos das bases tocam a esfera. Pegando o corte que passa pelo eixo, o retângulo 2r \times 2r (um quadrado) está inscrito num círculo de raio R, e a diagonal do quadrado é o diâmetro da esfera.

1. Diagonal do quadrado de lado 2r: 2r\sqrt{2}.
2. Então 2R = 2r\sqrt{2}, ou seja, R = r\sqrt{2}.
3. Volume da esfera: V_e = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (r\sqrt{2})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 2\sqrt{2}\, r^3 = \frac{8\sqrt{2}}{3}\pi r^3.
4. Volume do cilindro: V_c = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3.

Razão:

A alternativa A está escrita como 4\frac{\sqrt{2}}{3}, que deve ser lida como \frac{4\sqrt{2}}{3} (o 4 multiplicando a fração \frac{\sqrt 2}{3}), resultado que obtivemos.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• B4/3 é só o fator do volume da esfera; ignora a relação R=r\sqrt{2} e o volume do cilindro.
• C3\sqrt{2}/4 é o inverso da razão correta, ou seja, cilindro sobre esfera quase (inverte numerador e denominador).
• D\sqrt{2} aparece de R=r\sqrt{2}, mas não resulta da razão entre os volumes.

Assuntos: Esfera, Cilindro.

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