Questão 51 da UNICAMP 2016

O quadrilátero é um "papagaio": AB = AD e BC = CD. A diagonal AC é eixo de simetria, então divide o quadrilátero em dois triângulos congruentes, ABC e ADC. Basta calcular a área de um e dobrar.

Pela simetria, AC divide o ângulo de 45^\circ em C ao meio, e o ângulo reto em A também. Então, no triângulo ABC:

• ângulo em C: 22{,}5^\circ;
• ângulo em A: 45^\circ.

Uma forma mais simples é usar a área por dois lados e o ângulo entre eles. Os triângulos BCD e BAD têm a diagonal BD em comum.

1. Triângulo BCD: BC = CD = 2 e ângulo de 45^\circ entre eles:
   

   S_{BCD} = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \sen 45^\circ = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

2. Lado BD pela lei dos cossenos:
   

   BD^2 = 2^2+2^2-2\cdot 2\cdot 2\cdot\cos 45^\circ = 8-4\sqrt{2}

3. Triângulo ABD é retângulo isósceles, com catetos x e hipotenusa BD: BD^2 = 2x^2, logo x^2 = 4-2\sqrt{2}. Sua área é
   

   S_{ABD} = \frac{x^2}{2} = 2-\sqrt{2}

4. Área total (A e C ficam em lados opostos de BD, então as áreas se somam):
   

   S = \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} = 2\ \text{cm}^2

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConsidera só a área do triângulo BCD, esquecendo o triângulo ABD.
• CDobra a área de BCD (2√2), sem calcular o triângulo ABD corretamente.
• DNão resulta de nenhum cálculo correto; as áreas de √2 e 2−√2 somam 2.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Lei dos senos e lei dos cossenos.

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