PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 49 da UNICAMP 2016

1ª fase · Matemática: Matrizes e determinantes

Considere a matriz quadrada de ordem 3,

A = \begin{bmatrix} \cos x & 0 & -\sen x \\ 0 & 1 & 0 \\ \sen x & 0 & \cos x \end{bmatrix},

onde x é um número real.

Podemos afirmar que

  1. A
    A não é invertível para nenhum valor de x.
  2. B
    A é invertível para um único valor de x.
  3. C
    A é invertível para exatamente dois valores de x.
  4. D
    A é invertível para todos os valores de x.
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Resolução comentada

Uma matriz quadrada é invertível quando seu determinante é diferente de zero. Então vamos calcular \det A.

Como a segunda linha é (0,\ 1,\ 0), convém expandir o determinante por ela (Laplace). Só o elemento a_{22}=1 é não nulo, e o sinal do cofator é (-1)^{2+2}=+1.

  1. Removendo a linha 2 e a coluna 2, sobra a matriz \begin{bmatrix} \cos x & -\sen x \\ \sen x & \cos x \end{bmatrix}.

  2. Seu determinante é \cos x\cdot\cos x - (-\sen x)\cdot\sen x = \cos^2 x + \sen^2 x.

  3. Pela relação fundamental da trigonometria, \cos^2 x + \sen^2 x = 1.

  4. Logo, \det A = 1\cdot 1 = 1.

O determinante vale 1 para qualquer x real, portanto nunca é zero. A matriz A é uma rotação em torno do eixo y, e rotações sempre são invertíveis (a inversa é a rotação de ângulo -x).

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO determinante vale 1, nunca 0, então A é sempre invertível.
  • BNão existe valor especial de x que anule o determinante, que é constante e igual a 1.
  • CConfunde com equações trigonométricas que teriam duas soluções; aqui o determinante não depende de x.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2016. Prova oficial ↗