PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 44 da UNICAMP 2016

1ª fase · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Considere o gráfico da função y = f(x) exibido na figura a seguir.

Gráfico em eixos cartesianos, com eixo horizontal x e vertical y, ambos com marcas sem valores numéricos. Uma curva crescente passa pela origem, vindo do terceiro quadrante e seguindo para o primeiro quadrante. A curva é côncava para baixo à esquerda da origem e côncava para cima à direita.

O gráfico da função inversa y = f^{-1}(x) é dado por

  1. A
    Gráfico em eixos cartesianos, com eixo horizontal x e vertical y, ambos com marcas sem valores numéricos. Duas curvas decrescentes situam-se no primeiro e no terceiro quadrantes, aproximando-se dos eixos sem tocá-los. No primeiro quadrante, a curva cresce sem limite ao se aproximar do eixo y e se aproxima do eixo x à direita; no terceiro, aproxima-se do eixo x à esquerda e desce sem limite ao se aproximar do eixo y.
  2. B
    Gráfico em eixos cartesianos, com eixo horizontal x e vertical y, ambos com marcas sem valores numéricos. Uma curva decrescente passa pela origem, vindo do segundo quadrante e seguindo para o quarto quadrante. A curva é côncava para cima à esquerda da origem e côncava para baixo à direita.
  3. C
    Gráfico em eixos cartesianos, com eixo horizontal x e vertical y, ambos com marcas sem valores numéricos. Uma curva crescente passa pela origem, vindo do terceiro quadrante e seguindo para o primeiro quadrante. A curva é côncava para cima à esquerda da origem e côncava para baixo à direita, tornando-se menos inclinada ao se afastar da origem.
  4. D
    Gráfico em eixos cartesianos, com eixo horizontal x e vertical y, ambos com marcas sem valores numéricos. Dois ramos côncavos para cima, simétricos em relação ao eixo y, encontram-se na origem. O ramo à esquerda é decrescente e fica no segundo quadrante; o ramo à direita é crescente e fica no primeiro quadrante.
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Resolução comentada

O gráfico de f^{-1} é o simétrico do gráfico de f em relação à reta y = x, pois cada ponto (a, b) de f vira o ponto (b, a) em f^{-1}.

Observe o que acontece com as características de f:

  1. f passa pela origem. O ponto (0,0) não muda na reflexão, então f^{-1} também passa pela origem.
  2. f é crescente, indo do terceiro ao primeiro quadrante. A reflexão em y=x leva o primeiro quadrante nele mesmo e o terceiro nele mesmo, e preserva o crescimento. Logo f^{-1} também é crescente, do terceiro ao primeiro quadrante.
  3. Concavidade: perto da origem, f é muito achatada (inclinação pequena) e vai ficando mais inclinada ao se afastar. Ao trocar os eixos, a inclinação vira o inverso: f^{-1} começa bem inclinada perto da origem e vai ficando mais achatada ao se afastar. No primeiro quadrante, isso é uma curva côncava para baixo; no terceiro, côncava para cima.

Isso descreve uma curva crescente, côncava para cima à esquerda da origem e côncava para baixo à direita, que fica menos inclinada longe da origem. É o gráfico da alternativa C.

As demais não servem: uma curva decrescente não pode ser inversa de uma crescente, e um gráfico em forma de V/U simétrico em y não é de função inversível.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem reflete o gráfico em um eixo em vez de na reta y=x, e a A engana quem confunde inversa com 1/f(x).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Amostra uma função decrescente com assíntotas (tipo 1/x), que não é a reflexão de f em y=x.
  • Bé decrescente; seria a reflexão de f em relação a um dos eixos, não a inversa.
  • Dé simétrico em relação ao eixo y, logo não é função injetora e não pode ser inversa de f.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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Ver como caiu na prova Questão 44 no caderno Q da UNICAMP 2016

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2016. Prova oficial ↗