PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 29 da UNICAMP 2015

1ª fase · Matemática: Números complexos

Sejam x e y números reais tais que x + yi = \sqrt{3 + 4i}, onde i é a unidade imaginária. O valor de xy é igual a

  1. A
    -2.
  2. B
    -1.
  3. C
    1.
  4. D
    2.
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Resolução comentada

Se x + yi = \sqrt{3+4i}, elevando os dois lados ao quadrado temos (x+yi)^2 = 3+4i.

Desenvolvendo o quadrado do lado esquerdo, com i^2 = -1:

(x+yi)^2 = x^2 + 2xyi + y^2i^2 = (x^2 - y^2) + 2xy\,i

Agora igualamos com 3+4i. Dois números complexos são iguais quando as partes reais são iguais e as partes imaginárias são iguais:

  1. Parte real: x^2 - y^2 = 3.
  2. Parte imaginária: 2xy = 4.

A pergunta é só o valor de xy, e ele sai direto da segunda equação:

xy = \frac{4}{2} = 2

Conferindo: x^2 - y^2 = 3 e xy = 2 têm solução real, por exemplo x = 2 e y = 1, pois 4 - 1 = 3 e 2\cdot 1 = 2. Realmente (2+i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i.

Portanto xy = 2.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra o sinal; a parte imaginária 2xy=4 é positiva, então xy não pode ser -2.
  • BNão corresponde a nenhuma das equações; xy=-1 daria parte imaginária -2, não 4.
  • CEsquece o fator 2 em 2xy e iguala xy a 4 dividido por 4, ou erra a conta de 4/2.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2015. Prova oficial ↗