PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 da UNICAMP 2015

1ª fase · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Considere o polinômio p(x) = x^3 - x^2 + ax - a, onde a é um número real. Se x = 1 é a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que

  1. A
    a < 0.
  2. B
    a < 1.
  3. C
    a > 0.
  4. D
    a > 1.
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Resolução comentada

Fatore o polinômio por agrupamento:

p(x) = x^2(x-1) + a(x-1) = (x-1)(x^2 + a)

Assim, x=1 é sempre raiz. Para que seja a única raiz real, o fator x^2 + a não pode ter raízes reais diferentes de 1.

  1. x^2 + a = 0 equivale a x^2 = -a.
  2. Se a<0, há duas raízes reais, x=\pm\sqrt{-a}. Elas são distintas entre si e pelo menos uma delas é diferente de 1, então x=1 não seria a única raiz real. (Se a=-1, as raízes são 1 e -1, e -1 é outra raiz real.)
  3. Se a=0, então x^2=0 dá x=0, que é raiz real diferente de 1. Também não serve.
  4. Se a>0, então x^2=-a<0 não tem solução real. Nesse caso, a única raiz real é x=1.

Logo, a condição é a>0.

Atenção: a>0 inclui valores entre 0 e 1, como a=0{,}5, então a alternativa D (a>1) é restritiva demais, e B (a<1) não garante nada.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom a<0, x^2+a tem duas raízes reais, então x=1 não seria a única.
  • Ba<1 inclui valores negativos e zero, que geram outras raízes reais.
  • Da>1 é suficiente, mas não necessário: a=0{,}5 também funciona.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Equação do 2º grau, Polinômios.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2015. Prova oficial ↗