Questão 26 da UNICAMP 2015

Ter todos os lados iguais não significa que o pentágono tenha todos os ângulos iguais. Para encontrar \theta, podemos traçar duas diagonais e usar os triângulos formados.

Nomeie os vértices, em sequência: A no ângulo reto, B no ângulo de 135^\circ, C à direita, D no ângulo \theta e E à esquerda, acima de A. Chame de s o comprimento de cada lado.

1. Trace EB. O triângulo ABE é retângulo e isósceles, pois AB=AE=s. Portanto, \angle ABE=45^\circ e, pelo teorema de Pitágoras:
   

   EB^2=s^2+s^2=2s^2.

2. Trace EC. Como a diagonal BE divide o ângulo de 135^\circ em B:
   

   \angle EBC=135^\circ-45^\circ=90^\circ.
   
   Assim, o triângulo EBC também é retângulo:
   
   EC^2=EB^2+BC^2=2s^2+s^2=3s^2.

3. No triângulo EDC, temos ED=DC=s, e EC é o lado oposto a \theta. Pela lei dos cossenos:
   

   3s^2=s^2+s^2-2s^2\cos\theta.
   
   Dividindo por s^2 e isolando o cosseno:
   
   \cos\theta=-\frac12.
   
   Como \theta é um ângulo interno do triângulo, segue que \theta=120^\circ.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AO ângulo de 105° não satisfaz a lei dos cossenos no triângulo EDC, cujo lado oposto mede s√3.
• CRepete o ângulo de 135° de outro vértice, mas lados iguais não garantem ângulos iguais no pentágono.
• DO cosseno de 150° é −√3/2, diferente do valor −1/2 obtido pela lei dos cossenos.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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