PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 da UNICAMP 2015

1ª fase · Matemática: Matrizes e determinantes

Considere a matriz A = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix}, onde a e b são números reais. Se A^2 = A e A é invertível, então

  1. A
    a = 1 e b = 1.
  2. B
    a = 1 e b = 0.
  3. C
    a = 0 e b = 0.
  4. D
    a = 0 e b = 1.
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Resolução comentada

Se A é invertível e A^2 = A, podemos multiplicar os dois lados por A^{-1}: A^{-1}A^2 = A^{-1}A, o que dá A = I. Em seguida, basta comparar com a matriz dada.

Para conferir pelas contas, calcule A^2:

A^2 = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & 0 \\ ba + b & 1 \end{bmatrix}

Igualando a A:

  1. a^2 = a, logo a = 0 ou a = 1.
  2. ba + b = b, logo ba = 0.

A matriz é invertível se \det A \neq 0. Aqui, \det A = a\cdot 1 - 0\cdot b = a. Então a \neq 0, e portanto a = 1.

Substituindo a=1 em ba = 0, obtemos b = 0.

Assim, A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I, o que concorda com o raciocínio inicial.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aa=1 está certo, mas b=1 não satisfaz ba+b=b, que exige ba=0.
  • Ca=0 anula o determinante, e a matriz não seria invertível.
  • Da=0 torna \det A = 0, contrariando a invertibilidade; além disso b=1 não satisfaz ba=0 com a=1.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Q da UNICAMP 2015

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2015. Prova oficial ↗