PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 47 da UNICAMP 2014

1ª fase · Matemática: Números complexos

O módulo do número complexo z = i^{2014} - i^{1987} é igual a

  1. A
    \sqrt{2}.
  2. B
    0.
  3. C
    \sqrt{3}.
  4. D
    1.
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Resolução comentada

As potências de i se repetem em ciclos de 4: i^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, e depois i^4=1 de novo. Então, para calcular i^n, basta dividir n por 4 e usar o resto.

  1. Para i^{2014}: 2014 = 4\cdot 503 + 2, resto 2. Logo i^{2014}=i^2=-1.
  2. Para i^{1987}: 1987 = 4\cdot 496 + 3, resto 3. Logo i^{1987}=i^3=-i.
  3. Substituindo: z = -1 - (-i) = -1 + i.

O módulo de a+bi é \sqrt{a^2+b^2}. Com a=-1 e b=1:

|z|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BSupõe que as duas potências são iguais e se anulam, mas i^{2014}=-1 e i^{1987}=-i são diferentes.
  • CNão corresponde a nenhum cálculo correto; \sqrt{(-1)^2+1^2} dá \sqrt{2}, não \sqrt{3}.
  • DConsidera apenas uma das partes (real ou imaginária) e esquece de somar os quadrados das duas no módulo.

Assunto: Números complexos.

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Ver como caiu na prova Questão 47 no caderno Q da UNICAMP 2014

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2014. Prova oficial ↗