Questão 48 da UNICAMP 2014

Para saber se M é invertível, calculamos o determinante: a matriz é invertível apenas se \det M \neq 0.

Pela regra de Sarrus, com M = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ b & 1 & a \\ 1 & b & 1 \end{pmatrix}:

1. Diagonais principais: 1\cdot1\cdot1 + a\cdot a\cdot 1 + 1\cdot b\cdot b = 1 + a^2 + b^2.
2. Diagonais secundárias: 1\cdot1\cdot1 + a\cdot a\cdot b não é o caso; calculando direto: 1\cdot 1\cdot 1 (posições 13, 22, 31), 1\cdot a\cdot b (posições 11, 23, 32) e a\cdot b\cdot 1 (posições 12, 21, 33). Soma: 1 + ab + ab = 1 + 2ab.
3. Determinante: \det M = (1 + a^2 + b^2) - (1 + 2ab) = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2.

Como a e b são distintos, a - b \neq 0, logo (a-b)^2 > 0.

Assim, o determinante é positivo e M é invertível.

Conferindo as outras: a^2 - b^2 não é igual a (a-b)^2 em geral. Quanto à transposta, o elemento m_{12} = a deveria ser igual a m_{21} = b, o que é falso, pois a \neq b.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AO determinante (a-b)^2 é diferente de zero, pois a\neq b, então M é invertível.
• CO determinante é (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2, não a^2-b^2; falta o termo -2ab.
• DPara M=M^T seria preciso a=b (elementos m_{12} e m_{21}), mas eles são distintos.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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