PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 46 da UNICAMP 2014

1ª fase · Matemática: Função exponencial

O gráfico abaixo exibe a curva de potencial biótico q(t) para uma população de microorganismos, ao longo do tempo t.

Gráfico cartesiano com o eixo vertical q(t) variando de 1000 a mais de 7000 e o eixo horizontal t variando de 0 a 5. A curva é estritamente crescente e convexa (exponencial), partindo do ponto (0, 1000) e atingindo um valor superior a 7000 em t = 5.

Sendo a e b constantes reais, a função que pode representar esse potencial é

  1. A
    q(t) = at + b.
  2. B
    q(t) = a\, b^t.
  3. C
    q(t) = at^2 + bt.
  4. D
    q(t) = a + \log_b t.
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Resolução comentada

O gráfico parte de (0, 1000), é sempre crescente e sua concavidade é para cima: o crescimento fica cada vez mais rápido. Esse é o comportamento de uma função exponencial. Vamos testar cada família de funções.

  1. Função afim, q(t)=at+b: o gráfico seria uma reta, com crescimento constante. A curva do gráfico não é reta.
  2. Função exponencial, q(t)=a\,b^t: em t=0 temos q(0)=a\cdot b^0=a, então a=1000. Pelo gráfico, q(1)\approx 1500, o que dá b\approx 1{,}5. Verificando: q(2)=1000\cdot 1{,}5^2=2250, q(3)=3375, q(4)\approx 5062 e q(5)\approx 7594. Esses valores batem com a curva (cerca de 2200, 3300, 5000 e mais de 7000).
  3. Função quadrática, q(t)=at^2+bt: em t=0 resulta q(0)=0, mas o gráfico começa em 1000. Não serve.
  4. Função logarítmica, q(t)=a+\log_b t: não está definida em t=0, e o gráfico de um logaritmo tem concavidade para baixo. Não serve.

Só a exponencial reproduz o ponto inicial, a concavidade e os valores da curva.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA função afim tem gráfico retilíneo, e a curva é convexa com crescimento cada vez mais rápido.
  • CEssa quadrática dá q(0)=0, mas o gráfico começa em 1000.
  • DO logaritmo não existe em t=0 e tem concavidade para baixo, o contrário da curva.

Assunto: Função exponencial.

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Ver como caiu na prova Questão 46 no caderno Q da UNICAMP 2014

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2014. Prova oficial ↗