PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 45 da UNICAMP 2013

1ª fase · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ?

Retângulo ABPQ no qual um feixe luminoso parte do ponto P no canto superior direito, atinge o ponto F no lado inferior AQ, reflete para o ponto G no lado esquerdo AB, reflete para o ponto H no lado superior BP e segue até o ponto Q no canto inferior direito. Em cada ponto de reflexão (F, G e H), os ângulos de incidência e reflexão com as superfícies estão assinalados com marcas de congruência.

  1. A
    12 cm.
  2. B
    15 cm.
  3. C
    16 cm.
  4. D
    18 cm.
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Resolução comentada

Use a lei da reflexão: ângulos de incidência e reflexão iguais. Na reflexão, o trajeto equivale a uma linha reta se "desdobrarmos" o retângulo, mas aqui dá para resolver só com semelhança e simetria.

Coloque coordenadas: B=(0,3), P=(6,3), A=(0,0), Q=(6,0). O raio sai de P, bate em F no lado AQ, depois em G no lado AB, depois em H no lado BP, e termina em Q.

Pela figura, F e H têm a mesma abscissa x, e G fica na metade da altura, y=1{,}5 (simetria do trajeto).

  1. Em G, os ângulos são iguais; então os segmentos GF e GH são simétricos em relação à horizontal: F e H estão a distâncias iguais de G, com a mesma abscissa x.
  2. Em F, o raio vindo de P com ângulo de reflexão igual: PF tem inclinação oposta à de FG. PF desce 3 e avança horizontalmente 6-x; FG sobe 1{,}5 e avança x. Inclinações iguais em módulo: \frac{3}{6-x}=\frac{1{,}5}{x}.
  3. Então 3x=1{,}5(6-x), logo 4{,}5x=9 e x=2.

Comprimentos:

  • PF=\sqrt{4^2+3^2}=5
  • FG=\sqrt{2^2+1{,}5^2}=2{,}5
  • GH=2{,}5
  • HQ=\sqrt{4^2+3^2}=5

Total: 5+2{,}5+2{,}5+5=15\ \text{cm}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubestima o trajeto; não corresponde à soma dos quatro segmentos (5 + 2,5 + 2,5 + 5).
  • CValor sem base na geometria; ignora que FG e GH medem 2,5 cm cada.
  • DSuperestima, como se os segmentos internos fossem maiores que 2,5 cm.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Transformações geométricas e localização.

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Ver como caiu na prova Questão 45 no caderno Q da UNICAMP 2013

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2013. Prova oficial ↗