PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 44 da UNICAMP 2013

1ª fase · Matemática: Cilindro

A embalagem de certo produto alimentício, em formato de cilindro circular, será alterada para acomodar um novo rótulo com informações nutricionais mais completas. Mantendo o mesmo volume da embalagem, a sua área lateral precisa ser aumentada. Porém, por restrições de custo do material utilizado, este aumento da área lateral não deve ultrapassar 25%. Sejam r e h o raio e a altura da embalagem original, e R e H o raio e a altura da embalagem alterada. Nessas condições podemos afirmar que:

  1. A
    \frac{R}{r} \ge \frac{3}{4} e \frac{H}{h} \le \frac{16}{9}.
  2. B
    \frac{R}{r} \ge \frac{9}{16} e \frac{H}{h} \le \frac{4}{3}.
  3. C
    \frac{R}{r} \ge \frac{4}{5} e \frac{H}{h} \le \frac{25}{16}.
  4. D
    \frac{R}{r} \ge \frac{16}{25} e \frac{H}{h} \le \frac{5}{4}.
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Resolução comentada

Volume igual: \pi r^2 h = \pi R^2 H, logo \frac{H}{h} = \frac{r^2}{R^2}.

Área lateral do cilindro: 2\pi r h. Na embalagem nova ela é 2\pi R H, e o aumento máximo é de 25%:

2\pi R H \le 1{,}25\cdot 2\pi r h \Rightarrow \frac{R}{r}\cdot\frac{H}{h} \le \frac{5}{4}

A área lateral precisa aumentar, mas o limite que restringe os valores é o de 25%.

  1. Da igualdade de volumes: \frac{H}{h} = \left(\frac{r}{R}\right)^2.
  2. Substituindo na desigualdade: \frac{R}{r}\cdot\left(\frac{r}{R}\right)^2 = \frac{r}{R} \le \frac{5}{4}.
  3. Invertendo (números positivos): \frac{R}{r} \ge \frac{4}{5}.
  4. Então \frac{H}{h} = \left(\frac{r}{R}\right)^2 \le \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}.

Portanto \frac{R}{r} \ge \frac{4}{5} e \frac{H}{h} \le \frac{25}{16}.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece que H/h = (r/R)², usando 5/4 direto para H/h e o quadrado para R/r.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa 3/4 e 16/9, valores que correspondem a um aumento de cerca de 33%, não de 25%.
  • BOs valores 9/16 e 4/3 não vêm da condição de 25%; o par não é coerente com o volume constante.
  • DUsa 5/4 para H/h, esquecendo de elevar ao quadrado, e 16/25 para R/r, que é o quadrado do correto.

Assunto: Cilindro.

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Ver como caiu na prova Questão 44 no caderno Q da UNICAMP 2013

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2013. Prova oficial ↗