Questão 5 da UNICAMP 2012

Question

Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre

Esquema de um campo de futebol com um jogador à esquerda e o gol à direita. Uma curva tracejada representa a trajetória parabólica da bola, que passa por cima da trave e termina no chão além do gol. Uma linha pontilhada liga a posição inicial ao ponto de queda. Setas de duas pontas indicam 30 m da posição inicial até a linha do gol e 40 m da posição inicial até o ponto de queda.

A
4{,}1 e 4{,}4\ \text{m}.
B
3{,}8 e 4{,}1\ \text{m}.
C
3{,}2 e 3{,}5\ \text{m}.
D
3{,}5 e 3{,}8\ \text{m}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 da UNICAMP 2012

1ª fase · Matemática: Função quadrática

Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre

Esquema de um campo de futebol com um jogador à esquerda e o gol à direita. Uma curva tracejada representa a trajetória parabólica da bola, que passa por cima da trave e termina no chão além do gol. Uma linha pontilhada liga a posição inicial ao ponto de queda. Setas de duas pontas indicam 30 m da posição inicial até a linha do gol e 40 m da posição inicial até o ponto de queda.

A
4{,}1 e 4{,}4\ \text{m}.
B
3{,}8 e 4{,}1\ \text{m}.
C
3{,}2 e 3{,}5\ \text{m}.
D
3{,}5 e 3{,}8\ \text{m}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A trajetória é uma parábola que corta o chão em x=0 (chute) e em x=40 (queda). Então a função da altura pode ser escrita pelas raízes: y = a\,x\,(x-40), com a<0.

O dado extra é que, em x=30 (linha do gol), a altura é 3\ \text{m}:

3 = a\cdot 30\cdot(30-40)
3 = -300a, logo a = -\dfrac{1}{100}.

A altura máxima fica no vértice, que está no ponto médio das raízes, x = 20:

y_{\text{máx}} = -\dfrac{1}{100}\cdot 20\cdot(20-40) = -\dfrac{1}{100}\cdot(-400) = 4.

A altura máxima é 4\ \text{m}.

Conferindo: 4 está entre 3{,}8 e 4{,}1, pois 3{,}8 < 4 < 4{,}1. Não está entre 4{,}1 e 4{,}4, nem entre 3{,}2 e 3{,}5, nem entre 3{,}5 e 3{,}8.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AFaixa acima de 4 m; a altura máxima calculada é exatamente 4 m, abaixo de 4,1.
CFaixa abaixo de 3,5 m, que seria menor que o valor de 4 m.
DFaixa até 3,8 m, ainda abaixo dos 4 m do vértice.

Assunto: Função quadrática.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2012. Prova oficial ↗