PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 da UNICAMP 2012

1ª fase · Matemática: Prismas e paralelepípedos

Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 20\ \text{cm} \times 8\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1\ \text{cm} de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a

Paralelepípedo retângulo em perspectiva, com as faces frontal, superior e lateral direita visíveis, subdivididas por uma malha em cubos unitários. A face frontal tem 20 colunas e 5 linhas, e a profundidade corresponde a 8 cubos.

  1. A
    360.
  2. B
    344.
  3. C
    324.
  4. D
    368.
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Resolução comentada

Um cubo tem casca em apenas uma face quando está no interior de uma face do paralelepípedo, sem tocar nenhuma aresta. Em cada face, esses cubos formam um retângulo com 2 cubos a menos em cada dimensão, porque a última fileira de cada lado encosta em uma aresta.

O queijo mede 20 \times 8 \times 5. Há três pares de faces iguais:

  1. Faces 20 \times 8 (2 faces): (20-2)(8-2) = 18 \cdot 6 = 108 cubos por face, ou seja, 216 no par.
  2. Faces 20 \times 5 (2 faces): (20-2)(5-2) = 18 \cdot 3 = 54 por face, ou seja, 108 no par.
  3. Faces 8 \times 5 (2 faces): (8-2)(5-2) = 6 \cdot 3 = 18 por face, ou seja, 36 no par.

Somando:

216 + 108 + 36 = 360

Portanto, 360 cubos têm casca em apenas uma face.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResultado sem justificativa a partir da contagem correta; não corresponde ao cálculo das faces internas.
  • CTambém não resulta da soma correta das seis faces internas.
  • DValor sem relação com a contagem correta, provavelmente de erro ao descontar as arestas.

Assunto: Prismas e paralelepípedos.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2012. Prova oficial ↗