Questão 10 da UNICAMP 2012

Question

Para construir uma curva “floco de neve”, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60^\circ, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que aparece tracejado na Figura 2. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e 4.

$Construção fractal da curva floco de neve: na Fig. 1 há um segmento reto horizontal; na Fig. 2 o terço médio dá lugar a dois lados de um triângulo equilátero, sendo um deles tracejado, com ângulo de 60 graus indicado; as Fig. 3 e Fig. 4 mostram as iterações subsequentes do processo sobre cada um dos segmentos.$

Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual a

A
\left( \dfrac{6!}{4! 3!} \right)\text{ cm}.
B
\left( \dfrac{5!}{4! 3!} \right)\text{ cm}.
C
\left( \dfrac{4}{3} \right)^5\text{ cm}.
D
\left( \dfrac{4}{3} \right)^6\text{ cm}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 da UNICAMP 2012

1ª fase · Matemática: Progressão geométrica

Para construir uma curva “floco de neve”, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60^\circ, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que aparece tracejado na Figura 2. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e 4.

$Construção fractal da curva floco de neve: na Fig. 1 há um segmento reto horizontal; na Fig. 2 o terço médio dá lugar a dois lados de um triângulo equilátero, sendo um deles tracejado, com ângulo de 60 graus indicado; as Fig. 3 e Fig. 4 mostram as iterações subsequentes do processo sobre cada um dos segmentos.$

Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual a

A
\left( \dfrac{6!}{4! 3!} \right)\text{ cm}.
B
\left( \dfrac{5!}{4! 3!} \right)\text{ cm}.
C
\left( \dfrac{4}{3} \right)^5\text{ cm}.
D
\left( \dfrac{4}{3} \right)^6\text{ cm}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Em cada etapa, todo segmento é dividido em 3 partes iguais e o terço central é substituído por 2 segmentos do mesmo tamanho. Cada segmento vira 4 segmentos, cada um com \frac{1}{3} do comprimento anterior. Assim, o comprimento total da curva é multiplicado por \frac{4}{3} a cada etapa.

Contando as figuras:

Figura 1: comprimento 1 cm.
Figura 2: \frac{4}{3} cm (4 segmentos de \frac{1}{3}).
Figura 3: \left(\frac{4}{3}\right)^2 cm (16 segmentos de \frac{1}{9}).
Figura 4: \left(\frac{4}{3}\right)^3 cm.

É uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão \frac{4}{3}, então a figura de número n tem comprimento \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}.

Para a sexta figura: n=6, logo o comprimento é \left(\frac{4}{3}\right)^{5} cm.

O expoente é 5, e não 6, porque a Figura 1 é o termo inicial, sem nenhuma etapa aplicada.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem associa a sexta figura ao expoente 6, esquecendo que a Figura 1 é o termo inicial (expoente 0).

Por que as outras alternativas estão erradas

AExpressão com fatoriais que não tem relação com o crescimento geométrico da curva.
BTambém usa fatoriais sem sentido no problema; o crescimento é por razão 4/3.
DUsa expoente 6, contando a Figura 1 como etapa já aplicada; a sexta figura tem 5 etapas.

Assunto: Progressão geométrica.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2012. Prova oficial ↗