PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 29 da UNICAMP 2011

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

TEXTO PARA AS QUESTÕES 28 E 29 · Q

A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.

Plano cartesiano com eixos x e y graduados de 1 a 7 e malha quadriculada pontilhada. Há três pontos indicados: a catedral no ponto (1, 1), a prefeitura no ponto (3, 1) e a câmara no ponto (5, 3). Uma reta vertical contínua sobre a coordenada x = 2 está identificada como Avenida Brasil.

O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida por

  1. A
    (x - 2)^2 + (y - 6)^2 \le 1.
  2. B
    (x - 1)^2 + (y - 5)^2 \le 2.
  3. C
    x \in\ ]1, 3[, y \in\ ]4, 6[.
  4. D
    x = 2, y \in [5, 7].
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Resolução comentada

A Avenida Brasil é a mediatriz do segmento catedral–prefeitura, ou seja, a reta x = 2 (como mostra a figura). A Avenida JK é a mediatriz do segmento prefeitura–câmara: o conjunto dos pontos (x,y) com mesma distância a P(3,1) e C(5,3).

  1. Igualamos as distâncias ao quadrado:
    (x-3)^2+(y-1)^2=(x-5)^2+(y-3)^2
  2. Desenvolvemos:
    x^2-6x+9+y^2-2y+1=x^2-10x+25+y^2-6y+9
  3. Cancelamos x^2 e y^2 e juntamos os termos:
    -6x-2y+10=-10x-6y+34 \Rightarrow 4x+4y=24 \Rightarrow x+y=6
  4. A interseção com x=2 dá y=4, ou seja, o ponto (2,4).

Agora testamos cada região com (2,4):

  • (A): 0+4=4>1, não pertence.
  • (B): (1)^2+(−1)^2=2\le 2, pertence.
  • (C): exige y\in\ ]4,6[, e y=4 fica fora (intervalo aberto).
  • (D): exige y\in[5,7], e 4 está fora.

Só a (B) é satisfeita, na fronteira do círculo.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana por usar intervalo aberto: x = 2 está dentro, mas y = 4 está exatamente no extremo excluído.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO círculo de centro (2,6) e raio 1 não contém (2,4), que está a distância 2 do centro.
  • CO intervalo aberto ]4,6[ exclui y = 4, justamente a ordenada do ponto.
  • DAcerta x = 2, mas exige y entre 5 e 7, e o ponto tem y = 4.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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Ver como caiu na prova Questão 29 no caderno Q da UNICAMP 2011

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2011. Prova oficial ↗