PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 da UNICAMP 2011

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

TEXTO PARA AS QUESTÕES 28 E 29 · Q

A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.

Plano cartesiano com eixos x e y graduados de 1 a 7 e malha quadriculada pontilhada. Há três pontos indicados: a catedral no ponto (1, 1), a prefeitura no ponto (3, 1) e a câmara no ponto (5, 3). Uma reta vertical contínua sobre a coordenada x = 2 está identificada como Avenida Brasil.

Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é de

  1. A
    1500 m.
  2. B
    500\sqrt{5}\text{ m}.
  3. C
    1000\sqrt{2}\text{ m}.
  4. D
    500 + 500\sqrt{2}\text{ m}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro, ache a escala do mapa. A catedral está em (1,1) e a prefeitura em (3,1), então a distância no mapa é de 2 unidades. Como a distância real é de 500\ \text{m}, cada unidade do quadriculado vale 250\ \text{m}.

Agora calcule a distância no mapa entre a catedral (1,1) e a câmara (5,3), pela fórmula da distância entre dois pontos:

  1. Diferença em x: 5-1=4.
  2. Diferença em y: 3-1=2.
  3. Distância: d=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} unidades.

Para passar para a distância real, multiplique pela escala:

2\sqrt{5}\cdot 250 = 500\sqrt{5}\ \text{m}

Confira: 500\sqrt{5}\approx 1118\ \text{m}, valor coerente com o mapa, pois a câmara está a cerca de 2{,}2 vezes a distância catedral-prefeitura (2 unidades \to 4{,}47 unidades).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma só os catetos em unidades (4+2=6) e multiplica por 250, em vez de usar a distância em linha reta (Pitágoras).
  • CConsidera um triângulo isósceles de catetos iguais, o que não corresponde às diferenças 4 e 2.
  • DSoma 500 com 500√2 sem fundamento geométrico; não aplica a distância entre dois pontos.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Escala.

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Ver como caiu na prova Questão 28 no caderno Q da UNICAMP 2011

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2011. Prova oficial ↗