PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 da UNICAMP 2011

1ª fase · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel. Somados, os homens despendem R$ 2.400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem. Denotando por x o número de homens do grupo, uma expressão que modela esse problema e permite encontrar tal valor é

  1. A
    2400x = (2400 + 64x)(40 - x).
  2. B
    2400(40 - x) = (2400 - 64x)x.
  3. C
    2400x = (2400 - 64x)(40 - x).
  4. D
    2400(40 - x) = (2400 + 64x)x.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Se há x homens, há 40 - x mulheres. Cada grupo gasta R$ 2.400,00 no total.

O que cada pessoa pagou é o total do grupo dividido pelo número de pessoas:

  1. Cada homem pagou \dfrac{2400}{x}.
  2. Cada mulher pagou \dfrac{2400}{40 - x}.

O enunciado diz que cada mulher pagou R$ 64,00 a menos que cada homem, ou seja, o valor do homem menos o da mulher é 64:

\frac{2400}{x} - \frac{2400}{40 - x} = 64

Para eliminar as frações, multiplique tudo por x(40 - x):

2400(40 - x) - 2400x = 64x(40 - x)

Agora isole o termo 2400(40 - x) e use a ideia de que o valor do homem é o da mulher mais 64. Reescrevendo a equação inicial como

\frac{2400}{x} = \frac{2400}{40 - x} + 64

multiplicando por x(40-x) obtemos:

2400(40 - x) = 2400x + 64x(40 - x)

Fatorando o lado direito: 2400x + 64x(40 - x) = x\,[2400 + 64(40 - x)]. Por outro lado, 64 pela diferença de pagamentos pode ser lido assim: o valor da mulher mais 64 é o do homem, então \dfrac{2400}{40-x} + 64 = \dfrac{2400}{x}.

Vamos conferir direto cada alternativa por outro caminho: a mulher paga \dfrac{2400}{40-x}, e o homem, \dfrac{2400}{x}, que é \dfrac{2400}{40-x}+64. Isolando 2400 do homem: 2400 = x\left(\dfrac{2400}{40-x}+64\right), e multiplicando por (40-x): 2400(40-x) = x\,[2400 + 64(40-x)].

Nenhuma alternativa traz essa forma; mas, escrevendo o preço da mulher como p e o do homem como p+64, e usando p = 2400/(40-x), a forma que aparece é 2400(40-x)=(2400+64x)x se o 64 multiplicar x, o que ocorre ao tomar o preço da mulher em função do homem: cada homem paga h = 2400/x, cada mulher h - 64, e (h-64)(40-x)=2400. Substituindo h=2400/x e multiplicando por x: (2400-64x)(40-x)=2400x.

Essa é a expressão da alternativa C.

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas A e C diferem só pelo sinal de 64x; o sinal + faria a mulher pagar mais que o homem, contrariando o enunciado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma 64x ao valor do homem, o que faria a mulher pagar a mais, contrariando o enunciado.
  • BTroca os fatores: multiplica 2400 por 40 − x e usa x no outro lado, o que não vem de nenhuma relação do problema.
  • DMistura a troca dos fatores com o sinal de +, de modo que a mulher aparece pagando mais que o homem.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 27 no caderno Q da UNICAMP 2011

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2011. Prova oficial ↗