PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 da UNICAMP 2011

1ª fase · Matemática: Progressão aritmética

No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura abaixo, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10a camada de ladrilhos cinza contém

Mosaico quadrado formado por camadas quadradas concêntricas de ladrilhos alternados entre cinzas e brancos. Setas apontam para as camadas a partir do centro: 1ª camada cinza (bloco central 2x2), 1ª camada branca, 2ª camada cinza, 2ª camada branca e 3ª camada cinza (mais externa).

  1. A
    76 ladrilhos.
  2. B
    156 ladrilhos.
  3. C
    112 ladrilhos.
  4. D
    148 ladrilhos.
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Resolução comentada

O mosaico é formado por quadrados concêntricos. Cada camada é a diferença entre dois quadrados consecutivos, então basta achar o lado do quadrado que termina em cada camada cinza.

A figura mostra:

  • 1ª camada cinza: quadrado 2\times2, com 4 ladrilhos;
  • 1ª branca: quadrado 4\times4;
  • 2ª cinza: quadrado 6\times6;
  • 2ª branca: quadrado 8\times8;
  • 3ª cinza: quadrado 10\times10.

Cada camada acrescenta 1 ladrilho de cada lado do quadrado anterior, ou seja, 2 ao lado total. Por isso, a cada camada cinza o lado aumenta 4 (uma cinza e uma branca).

  1. O lado da n-ésima camada cinza é 2+4(n-1)=4n-2.
  2. Para n=10: lado =4\cdot10-2=38.
  3. A camada cinza anterior (a 9ª) termina em um quadrado de lado 4\cdot 9-2=34. Mas a 10ª camada cinza começa depois da 9ª branca, que tem lado 36. Assim, a parte interna que ela envolve é o quadrado de lado 36.
  4. Ladrilhos da 10ª camada cinza: 38^2-36^2.
38^2-36^2=(38-36)(38+36)=2\cdot74=148

Conferindo com a 3ª camada cinza: lado 10, interior 8, então 100-64=36. Na figura, a borda externa tem 10+10+8+8=36 ladrilhos. Confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa só o perímetro de um quadrado de lado 19 (4·19), sem relação com a camada real.
  • BCalcula 40^2-38^2 ou usa lado errado, passando de 38 para 40 (156 = 2·78).
  • CUsa lado 29 ou outro valor sem respeitar o aumento de 4 por camada cinza.

Assunto: Progressão aritmética.

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Ver como caiu na prova Questão 26 no caderno Q da UNICAMP 2011

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2011. Prova oficial ↗