PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 da UNICAMP 2011

1ª fase · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

TEXTO PARA AS QUESTÕES 19 E 20 · Q

O radar é um dos dispositivos mais usados para coibir o excesso de velocidade nas vias de trânsito. O seu princípio de funcionamento é baseado no efeito Doppler das ondas eletromagnéticas refletidas pelo carro em movimento. Considere que a velocidade medida por um radar foi V_{\text{m}} = 72\text{ km/h} para um carro que se aproximava do aparelho.

Quando um carro não se move diretamente na direção do radar, é preciso fazer uma correção da velocidade medida pelo aparelho (\text{V}_{\text{m}}) para obter a velocidade real do veículo (\text{V}_{\text{r}}). Essa correção pode ser calculada a partir da fórmula \text{V}_{\text{m}} = \text{V}_{\text{r}} \boldsymbol{\text{·}} \text{cos}(\text{α}), em que \text{α} é o ângulo formado entre a direção de tráfego da rua e o segmento de reta que liga o radar ao ponto da via que ele mira. Suponha que o radar tenha sido instalado a uma distância de 50 m do centro da faixa na qual o carro trafegava, e tenha detectado a velocidade do carro quando este estava a 130 m de distância, como mostra a figura abaixo.

Esquema visto de cima mostrando a rua com uma faixa tracejada no meio, um carro e um radar posicionado fora da pista. Uma linha tracejada de 130 m liga o radar ao carro, e outra de 50 m liga o radar perpendicularmente à linha de tráfego do carro, formando um triângulo retângulo com ângulo alfa no vértice do carro.

Se o radar detectou que o carro trafegava a 72 km/h, sua velocidade real era igual a

  1. A
    66,5 km/h.
  2. B
    78 km/h.
  3. C
    36\sqrt{3}\text{ km/h}.
  4. D
    144\,/\,\sqrt{3}\text{ km/h}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O radar só "enxerga" a componente da velocidade do carro na direção que liga o radar ao carro. Por isso V_m = V_r\cdot\cos\alpha, e a velocidade real é V_r = V_m/\cos\alpha.

O ângulo \alpha está no triângulo retângulo da figura. A hipotenusa é a linha de 130 m (radar até o carro) e o cateto de 50 m é perpendicular à via. Esse cateto de 50 m fica oposto ao ângulo \alpha, que é formado entre a via e a linha de 130 m. O cateto adjacente a \alpha é o trecho ao longo da via.

  1. Cateto adjacente, pelo teorema de Pitágoras: d=\sqrt{130^2-50^2}=\sqrt{16900-2500}=\sqrt{14400}=120\ \text{m}.

  2. Cosseno do ângulo: \cos\alpha=\dfrac{120}{130}=\dfrac{12}{13}.

  3. Velocidade real: V_r=\dfrac{72}{12/13}=72\cdot\dfrac{13}{12}=6\cdot 13=78\ \text{km/h}.

Como \cos\alpha<1, a velocidade real é maior que a medida, o que confirma o resultado (78 > 72).

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem multiplica 72 por \cos\alpha em vez de dividir; a velocidade real tem de ser maior que a medida.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Amultiplica 72 por \cos\alpha (ou usa o ângulo errado) em vez de dividir, obtendo um valor próximo de 66, menor que a velocidade medida.
  • Ccorresponde a usar \cos\alpha=\sqrt{3}/2 com multiplicação, valor sem relação com o triângulo 50–120–130.
  • Dcorresponde a \cos\alpha=\sqrt{3}/2 (ângulo de 30°), que não é o ângulo da figura.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Q da UNICAMP 2011

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2011. Prova oficial ↗