Helena tem um cadeado cuja abertura depende de uma senha composta por 3 dígitos que são números inteiros de 0 a 9. Após definir a senha do cadeado, ela cola um adesivo com certo código no cadeado. Este código, no entanto, não é a senha do cadeado: deixar a senha anotada no cadeado seria um equívoco. Para obter a senha correta, , a partir do código , Helena usa a seguinte relação entre os dígitos do código e os dígitos da senha: a) Se o código anotado por Helena fosse , qual seria a senha do cadeado? b) Passados alguns meses, Helena se esqueceu da senha. Para seu azar, o adesivo com o código se apagou parcialmente e só sobraram visíveis os dois primeiros dígitos: . Quais são todas as possíveis senhas? Justifique.

Questão 5 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2025

2º dia · Matemática

Helena tem um cadeado cuja abertura depende de uma senha composta por 3 dígitos que são números inteiros de 0 a 9. Após definir a senha do cadeado, ela cola um adesivo com certo código no cadeado. Este código, no entanto, não é a senha do cadeado: deixar a senha anotada no cadeado seria um equívoco. Para obter a senha correta, (x,y,z), a partir do código (a,b,c), Helena usa a seguinte relação entre os dígitos do código e os dígitos da senha:

\begin{cases} x + y + z = a, \\ x + z = b, \\ y + z = c. \end{cases}

a) Se o código anotado por Helena fosse (9,6,3), qual seria a senha do cadeado?

b) Passados alguns meses, Helena se esqueceu da senha. Para seu azar, o adesivo com o código se apagou parcialmente e só sobraram visíveis os dois primeiros dígitos: (6,2,?). Quais são todas as possíveis senhas? Justifique.

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Resposta esperada

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a) Para descobrir a senha a partir do código, basta resolver o sistema

\begin{aligned} x + y + z &= 9, \\ x \phantom{+ y} + z &= 6, \\ y + z &= 3. \end{aligned}

Este sistema é equivalente a

\begin{aligned} x + y + z &= 9, \\ y \phantom{+ z} &= 3, \\ x \phantom{+ y + z} &= 6, \end{aligned}

logo x = 6, y = 3 e z = 0 e a senha é (6,3,0).

b) Neste caso, temos que

\begin{aligned} x + y + z &= 6, \\ x \phantom{+ y} + z &= 2, \\ y + z &= c. \end{aligned}

A solução deste sistema é y = 4, x = 6 - c, z = c - 4. Como sabemos que x, z, c \in \{0,1, \dots, 9\}, os únicos valores possíveis de c são c = 6, c = 5 ou c = 6. Logo, as possíveis senhas são (0,4,2), (1,4,1) ou (2,4,0).

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