Questão 12 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2019

Question

Seja d a maior distância entre dois pontos desse cilindro, como ilustra a figura abaixo.

Cilindro circular reto com raio da base $r$, altura $h$ e segmento $d$ ligando dois pontos opostos

a) Supondo que o cilindro tenha volume igual a um litro, calcule sua área de superfície total.

b) Determine o valor de d no caso em que (r, h, d) seja uma progressão geométrica.

Answer 1

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Questão 12 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2019

3º dia · Matemática: Cilindro

Seja d a maior distância entre dois pontos desse cilindro, como ilustra a figura abaixo.

Cilindro circular reto com raio da base $r$, altura $h$ e segmento $d$ ligando dois pontos opostos

a) Supondo que o cilindro tenha volume igual a um litro, calcule sua área de superfície total.

b) Determine o valor de d no caso em que (r, h, d) seja uma progressão geométrica.

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Resposta esperada pela Comvest

a)
O volume do cilindro é dado por V = ̀\pi r^2 h = 4\pi h = 1\ l = 1.000\ \text{cm}^3. Logo, h = \left(\frac{250}{\pi}\right) \text{cm}. A área de superfície total do cilindro é dada por S = \pi r^2 + \pi r^2 + 2\pi rh = 4\pi + 4\pi + 4\pi \times \frac{250}{\pi} = (8\pi + 1.000)\ \text{cm}^2.

b)
Considere o triângulo retângulo com catetos de comprimentos 2r e h e hipotenusa de comprimento d, como ilustra a figura abaixo.

[Figura: Esquema de um cilindro reto desenhado com linhas tracejadas, exceto pela geratriz da direita. No interior, há um triângulo retângulo cujos catetos são o diâmetro da base inferior (dividido em dois raios r e r, totalizando 2r) e a altura h (sobre a geratriz direita, com indicação de ângulo reto na base), e cuja hipotenusa é o segmento d, que liga a extremidade esquerda do diâmetro da base ao topo da geratriz direita.]

Pelo Teorema de Pitágoras, d^2 = (2r)^2 + h^2 = 16 + h^2. Como (r, h, d) é uma progressão geométrica, h/r = d/h, ou seja, h^2 = 2d. Assim, d^2 = 16 + 2d. Resolvendo essa equação quadrática, obtemos duas soluções, d = 1 - \sqrt{17} e d = 1 + \sqrt{17}. Como d deve ser positivo, a solução é d = (1 + \sqrt{17})\ \text{cm}.

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Resolução comentada

a) O enunciado original dá o raio da base: r = 2\ \text{cm}. Um litro equivale a 1000\ \text{cm}^3.

Volume: V = \pi r^2 h = 4\pi h = 1000, então h = \dfrac{250}{\pi}\ \text{cm}.
Área total, com duas bases e a lateral: S = 2\pi r^2 + 2\pi r h.
Substituindo: S = 2\pi\cdot 4 + 2\pi\cdot 2\cdot\dfrac{250}{\pi} = 8\pi + 1000.

O \pi da altura cancela com o \pi da lateral, e sobra o termo 1000.

S = (8\pi + 1000)\ \text{cm}^2

b) A maior distância entre dois pontos do cilindro é a diagonal do retângulo que passa pelo eixo. Ela liga um ponto da borda de uma base ao ponto diametralmente oposto da outra base. Forma-se um triângulo retângulo com catetos 2r = 4 e h, e hipotenusa d. Por Pitágoras:

d^2 = (2r)^2 + h^2 = 16 + h^2.

Se (r, h, d) é uma PG, a razão é constante: \dfrac{h}{r} = \dfrac{d}{h}. Logo h^2 = r\,d = 2d.

Substituindo em Pitágoras:

d^2 = 16 + 2d \Rightarrow d^2 - 2d - 16 = 0.

Por Bhaskara, \Delta = 4 + 64 = 68, então d = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 1 \pm \sqrt{17}.

Como d>0, fica só a raiz positiva.

Conferência: d \approx 5{,}12, h = \sqrt{2d} \approx 3{,}2 e r = 2, com razão \approx 1{,}6 nos dois passos.

d = (1+\sqrt{17})\ \text{cm}

Assuntos: Cilindro, Progressão geométrica, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 12 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2019

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2019. Prova oficial ↗