a) Determine todos os valores de a e b para os quais , em que AT é a transposta da matriz A . b) Para , sejam k e números reais tais que Determine os possíveis valores de .

Questão 11 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2019

3º dia · Matemática

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{bmatrix}.

a) Determine todos os valores de a e b para os quais A^T A = AA^T, em que A^T é a transposta da matriz A.

b) Para a = b = 2, sejam k e \theta números reais tais que

A \begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sen \theta \end{bmatrix} = k \begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sen \theta \end{bmatrix}.

Determine os possíveis valores de \tan \theta.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a)
Desenvolvendo a igualdade A^T A = AA^T, obtemos

\begin{bmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 + a^2 & 1 + ab \\ 1 + ab & 1 + b^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & a+b \\ a+b & a^2 + b^2 \end{bmatrix}.

Igualando elemento a elemento, temos o sistema

\begin{cases} 1 + a^2 = 2, \\ 1 + ab = a+b, \\ 1 + b^2 = a^2 + b^2. \end{cases}

Logo, a^2 = 1 e 1 + ab = a + b. Para a = -1, temos 1 - b = -1 + b, b = 2. Para a = 1, temos 1 + b = 1 + b, ou seja, qualquer b real. Portanto, os valores possíveis para a e b são: (i) a = -1 e b = 2 ou (ii) a = 1 e b igual a qualquer número real.

b)
Temos que

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sen\theta \end{bmatrix} = k \begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sen\theta \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} \cos\theta + \sen\theta = k\cos\theta, \\ 2\cos\theta + 2\sen\theta = k\sen\theta. \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \cos\theta + \sen\theta = k\cos\theta, \\ \cos\theta + \sen\theta = \dfrac{k}{2}\sen\theta. \end{cases}

Logo, k\cos\theta = \frac{k}{2}\sen\theta, ou seja, k(2\cos\theta - \sen\theta) = 0. Assim, temos duas possibilidades: (i) k = 0, implicando \cos\theta + \sen\theta = 0, ou seja, \tan\theta = -1, ou (ii) 2\cos\theta - \sen\theta = 0, implicando \tan\theta = 2. Portanto, os possíveis valores para \tan\theta são -1 e 2.

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