Questão 15 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2018

2º dia · Matemática

geométrica e (a_3, a_4, a_5) é uma progressão aritmética, ambas com a mesma razão w.

a) Determine a sequência no caso em que a_3 = 3 e w = 2.

b) Determine todas as sequências tais que a_1 = 1 e a_5 = 8.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) Como (a_1, a_2, a_3) é uma progressão geométrica de razão w, temos a_2 = a_1 \times w e a_3 = a_2 \times w. Como a_3 = 3 e w = 2, temos a_2 = \frac{a_3}{w} = \frac{3}{2} e a_1 = \frac{a_2}{w} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}. Como (a_3, a_4, a_5) é uma progressão aritmética de razão w, temos a_3 = 3, a_4 = a_3 + w = 3 + 2 = 5 e a_5 = a_4 + w = 5 + 2 = 7. Portanto, a sequência é (\frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3, 5, 7).

b) Como (a_1, a_2, a_3) é uma progressão geométrica de razão w, temos a_1 = 1, a_2 = a_1 \times w = w e a_3 = a_2 \times w = w^2. Como (a_3, a_4, a_5) é uma progressão aritmética de razão w, temos a_3 = w^2, a_4 = a_3 + w = w^2 + w e a_5 = a_4 + w = w^2 + 2w. Logo, devemos ter a_5 = w^2 + 2w = 8, ou seja, w^2 + 2w - 8 = 0. As soluções dessa equação quadrática são dadas por w = \frac{-2 \raisebox{0.5pt}{\text{\footnotesize\boldsymbol{\frac{+}{-}}}} \raisebox{0.5pt}{\text{\footnotesize+}}\raisebox{-2.5pt}{\text{\footnotesize-}} \raisebox{0.5pt}{\text{\footnotesize}}\raiz \text{...}}... -> vamos usar KaTeX padrão: w = \frac{-2 \raisebox{0.5pt}{\text{\footnotesize\boldsymbol{\frac{+}{-}}}}... -> KaTeX padrão: \pm.

Revisando a fórmula: w = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times 1 \times (-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} = -1 \pm 3, ou seja, w = -4 ou w = 2. Portanto, as sequências possíveis são (1, -4, 16, 12, 8) ou (1, 2, 4, 6, 8).

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Questão 15 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2018