Questão 14 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2018

2º dia · Matemática

a) Encontre todas as soluções da equação [f(x)]^3 = f(x^3), para c = 1.

b) Determine todos os valores de c para os quais a função g(x) = \log(xf(x) + c) esteja definida para todo número real x.

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a) Para c = 1 temos f(x) = 2x + 1. Logo, a equação [f(x)]^3 = f(x^3) se torna [2x + 1]^3 = 2x^3 + 1. Desenvolvendo-a, obtemos 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 = 2x^3 + 1, ou seja, 6x^3 + 12x^2 + 6x = 0. Temos então 6x(x^2 + 2x + 1) = 0, ou ainda, 6x(x + 1)^2 = 0. Portanto, as soluções são x = 0 ou x = -1.

b) Temos g(x) = \log(xf(x) + c) = \log(x(2x + c) + c) = \log(2x^2 + cx + c). Para que a função g esteja definida para todo número real x, devemos ter 2x^2 + cx + c > 0 para todo número real x. Como o gráfico da função quadrática q(x) = 2x^2 + cx + c é uma parábola com a concavidade voltada para cima, para que q(x) seja sempre positiva, a equação q(x) = 0 não pode ter solução, ou seja, o discriminante deverá ser negativo.

Assim, \Delta = c^2 - 4 \times 2 \times c = c^2 - 8c = c(c - 8) < 0 implica que 0 < c < 8.

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Questão 14 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2018