Considere a função , definida para todo número real x . a) Esboce o gráfico de no plano cartesiano para . b) Determine os valores dos números reais a e b para os quais a equação admite como soluções e .

Questão 8 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2016

2º dia · Matemática

Considere a função f(x) = |2x - 4| + x - 5, definida para todo número real x.

a) Esboce o gráfico de y = f(x) no plano cartesiano para -4 \le x \le 4.

b) Determine os valores dos números reais a e b para os quais a equação \log_a(x + b) = f(x) admite como soluções x_1 = -1 e x_2 = 6.

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Resposta esperada

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a)
Da definição da função módulo, temos que a função f é dada por

f(x) = \begin{cases} -(2x - 4) + x - 5\text{ se } 2x - 4 < 0, \\ (2x - 4) + x - 5\text{ se } 2x - 4 \ge 0, \end{cases} = \begin{cases} -2x + 4 + x - 5\text{ se } 2x < 4, \\ 2x - 4 + x - 5\text{ se } 2x \ge 4, \end{cases} = \begin{cases} -x - 1\text{ se } x < 2, \\ 3x - 9\text{ se } x \ge 2. \end{cases}

O gráfico da função f, para -4 \le x \le 4, está esboçado abaixo.

[Figura: Gráfico da função f em um plano cartesiano com grade pontilhada variando de -5 a 5 nos eixos x e y. O gráfico é uma linha poligonal contínua no intervalo [-4, 4], com um vértice voltado para baixo no ponto (2, -3). À esquerda desse vértice, um segmento de reta liga o ponto (-4, 3) ao ponto (2, -3), passando por (-1, 0) e (0, -1). À direita, um segmento de reta liga (2, -3) ao ponto (4, 3), passando por (3, 0).]

b)
Devemos ter que \log_a(-1 + b) = f(-1) = 0 e \log_a(6 + b) = f(6) = 9. Logo, a^0 = b - 1 e a^9 = b + 6. Da primeira igualdade, como a \ne 0, obtemos 1 = b - 1, ou seja, b = 2 , e, substituindo esse resultado na segunda igualdade, obtemos a^9 = 8, ou seja, a = 8^{\frac{1}{9}} = \sqrt[3]{2}.

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