Questão 7 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2016

2º dia · Matemática

O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição da idade de um grupo de pessoas.

Gráfico de barras comparando o número de pessoas por idade (de 21 a 25 anos) entre homens (barras pretas) e mulheres (barras cinzas). Valores de homens: 21 anos = 4, 22 anos = 5, 23 anos = 4, 24 anos = 1, 25 anos = 2. Valores de mulheres: 21 anos = 5, 22 anos = 2, 23 anos = 3, 24 anos = 3, 25 anos = 1.

a) Mostre que, nesse grupo, a média de idade dos homens é igual à média de idade das mulheres.

b) Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, determine a probabilidade de que a soma de suas idades seja igual a 49 anos.

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a) A média é a soma das idades dividida pelo número de pessoas, e cada idade entra com o peso da sua frequência.

Homens: 4+5+4+1+2=16 pessoas, e

\text{soma}=21\cdot4+22\cdot5+23\cdot4+24\cdot1+25\cdot2=84+110+92+24+50=360
\text{média}=\frac{360}{16}=22{,}5

Mulheres: 5+2+3+3+1=14 pessoas, e

\text{soma}=21\cdot5+22\cdot2+23\cdot3+24\cdot3+25\cdot1=105+44+69+72+25=315
\text{média}=\frac{315}{14}=22{,}5

As duas médias são iguais a 22,5 anos. Média dos homens = média das mulheres = 22,5 anos.

b) Escolhendo um homem e uma mulher, o total de pares possíveis é 16\cdot14=224.

As idades vão de 21 a 25 anos. Para somar 49, só servem os pares (homem, mulher) com idades (24,25) ou (25,24).

  • Homem de 24 e mulher de 25: 1\cdot1=1 par.
  • Homem de 25 e mulher de 24: 2\cdot3=6 pares.

São 7 pares favoráveis, então

P=\frac{7}{224}=\frac{1}{32}

Probabilidade =\dfrac{1}{32} (cerca de 3,1%).

Assuntos: média aritmética, probabilidade, leitura de gráficos.

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