Questão 24 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2014

1º dia · Matemática

Considere no plano cartesiano os pontos A = (-1,1) e B = (2,2).

a) Encontre a equação que representa o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam pelos pontos A e B.

b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das ordenadas. Determine C de modo que o triângulo ABC tenha área igual a 8.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a)
Seja P = (x, y) o centro de um círculo que passa pelos pontos A e B. As distâncias de P a A e de P a B devem ser iguais, ou seja, (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + (y - 2)^2. Assim, x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4, ou seja, 6x + 2y = 6. Portanto, o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam pelos pontos A e B é uma reta de equação 3x + y = 3.

b)
Seja C = (0, c). A área do triângulo ABC é dada pela metade do módulo do determinante \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & c & 1 \end{vmatrix}. Logo, |-2 + 2c - 2 + c|/2 = 8 \Rightarrow |3c - 4| = 16 \Rightarrow 3c - 4 = \pm 16 \Rightarrow c = 20/3 \text{ ou } c = -4. Como c deve ser negativo, tomamos c = -4.

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Questão 24 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2014