Questão 23 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2014

1º dia · Matemática

O polinômio p(x) = x^3 - 2x^2 - 9x + 18 tem três raízes: r, -r e s.

a) Determine os valores de r e s.

b) Calcule p(z) para z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária.

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a) Pela soma das raízes (relações de Girard): r+(-r)+s = 2, pois a soma das raízes é -\frac{-2}{1}=2. Logo s=2.

O produto das raízes é -\frac{18}{1}=-18, então r\cdot(-r)\cdot s=-18, ou seja, -2r^2=-18 e r^2=9. Assim r=3 ou r=-3, o que dá o mesmo conjunto de raízes.

Conferindo por fatoração por agrupamento:

p(x)=x^2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x^2-9)=(x-2)(x-3)(x+3),

cujas raízes são 2, 3 e -3.

s=2 e r=3 (ou r=-3, pois as raízes r e -r são 3 e -3).

b) Calculamos as potências de z=1+i:

  1. z^2=1+2i+i^2=2i
  2. z^3=z\cdot z^2=(1+i)\cdot 2i=2i+2i^2=-2+2i

Substituindo em p:

p(z)=(-2+2i)-2(2i)-9(1+i)+18=(-2-9+18)+(2-4-9)i=7-11i.

Conferindo pela forma fatorada: (z-2)(z^2-9)=(-1+i)(-9+2i)=9-2i-9i+2i^2=7-11i.

p(1+i)=7-11i

Assuntos: polinômios, relações de Girard, números complexos.

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