Questão 15 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2014
O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 20 reais. Para um consumo superior, o preço é de 20 reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros cúbicos. Considere c(x) a função que associa o gasto mensal com o consumo de x metros cúbicos de água.
a) Esboce o gráfico da função c(x) no plano cartesiano para x entre 0 e 30.
b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico? E para um consumo mensal de 25 metros cúbicos?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) A função tem duas partes:
Para esboçar o gráfico, vale o seguinte:
- De x=0 a x=10, o gráfico é um segmento horizontal na altura c=20.
- A partir de x=10, é uma semirreta de inclinação 4 (cada metro cúbico a mais custa R$ 4,00), que começa no ponto (10,\,20).
- Em x=30: c(30)=4\cdot 30-20=100, então o gráfico termina em (30,\,100).
Pontos de apoio: (0,20), (10,20), (20,60) e (30,100). O gráfico é contínuo, com um "canto" em x=10: um segmento horizontal seguido de um segmento inclinado ascendente.
Esboço: segmento horizontal de (0,20) a (10,20) e segmento de reta de (10,20) a (30,100).
b) O preço efetivo por metro cúbico é o gasto total dividido pelo volume consumido, \dfrac{c(x)}{x}.
-
Para x=4 (consumo até 10 m³), o gasto é fixo: c(4)=20. Então
\frac{20}{4}=5\ \text{reais por m}^3. -
Para x=25 (acima de 10 m³): c(25)=20+4\cdot(25-10)=20+60=80. Então
\frac{80}{25}=3{,}20\ \text{reais por m}^3.
Note que o preço efetivo por m³ pode ser menor para quem consome mais, pois a parte fixa de R$ 20,00 é diluída em mais metros cúbicos.
R$ 5,00 por m³ para 4 m³ e R$ 3,20 por m³ para 25 m³.
Assuntos: função afim por partes, gráfico de funções, razão e preço médio.
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