Questão 14 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2014
O peso médio (média aritmética dos pesos) dos 100 alunos de uma academia de ginástica é igual a 75 kg. O peso médio dos homens é 90 kg e o das mulheres é 65 kg.
a) Quantos homens frequentam a academia?
b) Se não são considerados os 10 alunos mais pesados, o peso médio cai de 75 kg para 72 kg. Qual é o peso médio desses 10 alunos?
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a) Sejam h o número de homens e m o de mulheres. Como são 100 alunos, h + m = 100.
A soma dos pesos de todos os alunos é 100 \cdot 75 = 7500\ \text{kg}. Essa soma é a dos homens mais a das mulheres: 90h + 65m = 7500.
- Substituindo m = 100 - h: 90h + 65(100 - h) = 7500.
- Desenvolvendo: 90h + 6500 - 65h = 7500.
- Então 25h = 1000, e portanto h = 40.
Conferindo: com m = 60, temos 40 \cdot 90 + 60 \cdot 65 = 3600 + 3900 = 7500. Está certo.
Frequentam a academia 40 homens.
b) Média aritmética é soma dividida pelo número de elementos. Por isso, trabalhamos com as somas dos pesos.
- Soma dos 100 alunos: 100 \cdot 75 = 7500\ \text{kg}.
- Soma dos 90 alunos restantes, com média 72 kg: 90 \cdot 72 = 6480\ \text{kg}.
- Soma dos 10 mais pesados: 7500 - 6480 = 1020\ \text{kg}.
- Média desses 10 alunos: \dfrac{1020}{10} = 102\ \text{kg}.
O peso médio dos 10 alunos mais pesados é 102 kg.
Assuntos: média aritmética, sistemas lineares.
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