Questão 23 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2012

1º dia · Matemática

Um círculo de raio 2 foi apoiado sobre as retas y = 2x e y = -x/2, conforme mostra a figura abaixo.

Plano cartesiano com os eixos x e y mostrando duas retas perpendiculares que se intersectam na origem (com símbolo de ângulo reto entre elas) e um círculo de centro C tangente a ambas as retas no primeiro e segundo quadrantes.

a) Determine as coordenadas do ponto de tangência entre o círculo e a reta y = -x/2.

b) Determine a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto C, centro do círculo.

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Resposta esperada

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a) Como mostra a figura ao lado, o quadrilátero OACB é um quadrado de lado igual a 2. Assim, a distância entre o ponto A e a origem é igual a 2.
O coeficiente angular da reta que passa por O e A é -1/2, donde \text{AD}/\text{OD} = 1/2, ou \text{OD} = 2\text{AD}. Além disso, aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OAD, obtemos \text{OD}^2 + \text{AD}^2 = 2^2.
Logo, (2\text{AD})^2 + \text{AD}^2 = 4, ou seja, 5\text{AD}^2 = 4, ou ainda \text{AD} = 2/\sqrt{5} = 2\sqrt{5}/5. Assim, \text{OD} = 4/\sqrt{5} = 4\sqrt{5}/5.
Finalmente, como o ponto A está no segundo quadrante, suas coordenadas são (-4\sqrt{5}/5, 2\sqrt{5}/5).

[Figura: Plano cartesiano com os eixos x e y, contendo uma circunferência de centro C tangente às retas y = 2x e y = -x/2 nos pontos B e A, respectivamente. O quadrilátero OACB forma um quadrado de lado 2. Do ponto A, uma linha pontilhada desce perpendicularmente ao eixo x até o ponto D. É indicado o ângulo \alpha entre a reta y = 2x e o eixo x positivo.]

Resposta: O ponto de tangência é (-4\sqrt{5}/5, 2\sqrt{5}/5).

a') O ponto A tem coordenadas (x_A, -x_A/2). Além disso, como mostra a figura acima, o quadrilátero OACB é um quadrado de lado igual a 2, de modo que a distância entre o ponto A e a origem é igual a 2, ou seja,

\sqrt{(x_A - 0)^2 + (-x_A/2 - 0)^2} = 2.

Logo, x_A^2 + x_A^2/4 = 4, donde 5x_A^2/4 = 4, ou seja, x_A^2 = 16/5. Como o ponto A está no segundo quadrante, temos x_A = -4/\sqrt{5} = -4\sqrt{5}/5. Assim, y_A = -x_A/2 = 2/\sqrt{5} = 2\sqrt{5}/5.

Resposta: O ponto de tangência é (-4\sqrt{5}/5, 2\sqrt{5}/5).

b) Como a reta passa pela origem, seu coeficiente linear é 0. Por outro lado, como a reta é a bissetriz do ângulo AÔB, seu coeficiente angular é dado por \tg(\alpha + 45^\circ) = [\tg(\alpha) + \tg(45^\circ)]/[1 - \tg(\alpha)\tg(45^\circ)]. Logo, \tg(\alpha + 45^\circ) = (2 + 1)/(1 - 2 \cdot 1) = -3, e a reta desejada é y = -3x.

Resposta: A reta que passa pela origem e pelo ponto C tem equação y = -3x.

b') A reta que passa pelos pontos A e C tem coeficiente angular 2, de modo que (y_C - y_A)/(x_C - x_A) = 2, ou (y_C - y_A) = 2(x_C - x_A). Como a distância entre A e C é igual a 2, concluímos que (x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 = 4. Logo, 5(x_C - x_A)^2 = 4, ou x_C - x_A = 2\sqrt{5}/5. Assim, y_C - y_A = 4\sqrt{5}/5, e C = (-4\sqrt{5}/5 + 2\sqrt{5}/5, 2\sqrt{5}/5 + 4\sqrt{5}/5), ou C = (-2\sqrt{5}/5, 6\sqrt{5}/5).
Como a reta desejada passa pela origem, seu coeficiente linear é 0. Por outro lado, a reta passa pelo ponto C, de modo que seu coeficiente angular é dado por (y_C - 0)/(x_C - 0) = 6\sqrt{5}/5/(-2\sqrt{5}/5) = -3. Logo, a reta tem equação y = -3x.

Resposta: A reta que passa pela origem e pelo ponto C tem equação y = -3x.

b'') O ponto C é equidistante às retas y = 2x e y = -x/2. Reescrevendo essas retas, dizemos que C é equidistante a -2x + y = 0 e a x + 2y = 0. Usando, então, a fórmula da distância entre ponto e reta, temos

\frac{|-2x_C + y_C|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = 2 \quad \text{e} \quad \frac{|x_C + 2y_C|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = 2.

Logo, |-2x_C + y_C| = 2\sqrt{5} e |x_C + 2y_C| = 2\sqrt{5}. Como x_C < 0 e |y_C| > x_C, temos o sistema linear

\begin{cases} -2x_C + y_C = 2\sqrt{5} \\ x_C + 2y_C = 2\sqrt{5} \end{cases},

cuja solução é x_C = -2\sqrt{5}/5, y_C = 6\sqrt{5}/5.
Como a reta desejada passa pela origem, seu coeficiente linear é 0. Por outro lado, a reta passa pelo ponto C, de modo que seu coeficiente angular é dado por (y_C - 0)/(x_C - 0) = 6\sqrt{5}/5/(-2\sqrt{5}/5) = -3. Logo, a reta tem equação y = -3x.

Resposta: A reta que passa pela origem e pelo ponto C tem equação y = -3x.

b''') A reta desejada é a reta suporte da bissetriz do ângulo \text{A}\hat{\text{O}}\text{B}. Dessa forma, os pontos dessa reta são equidistantes às retas y = 2x e y = -x/2, ou seja, são equidistantes a -2x + y = 0 e x + 2y = 0. Assim, tomando um ponto (x, y) qualquer dessa reta, temos

\frac{|-2x + y|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = \frac{|x + 2y|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}.

Logo, |-2x + y| = |x + 2y|. As soluções dessa equação são soluções de -2x + y = x + 2y ou de -2x + y = -x - 2y. Isolando y na primeira equação, obtemos y = -3x. Já a segunda equação fornece y = x/3. Como a reta desejada passa pelo segundo e pelo quarto quadrantes, sua equação é y = -3x.

Resposta: A reta que passa pela origem e pelo ponto C tem equação y = -3x.

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