Resposta esperada pela FUVEST
a) Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, o ângulo \text{B}\hat{\text{A}}\text{C} mede 180 - 30 - 30 = 120^\circ . Aplicando a lei dos senos ao triângulo ABC, obtemos
\frac{\text{CB}}{\sen(\text{B}\hat{\text{A}}\text{C})} = \frac{\text{AB}}{\sen(\text{A}\hat{\text{C}}\text{B})} \quad \text{ou} \quad \frac{15}{\sqrt{3}/2} = \frac{\text{AB}}{1/2}.
Logo, \text{AB} = \dfrac{15 \cdot 1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}\text{ m} .
Resposta: A distância entre A e B é igual a 5\sqrt{3}\text{ m} .
a') O triângulo ABC é isósceles, de modo que \text{AB} = \text{AC} . Tomando E como o ponto médio do segmento BC, observamos que o triângulo ABE é retângulo. Desse modo,
\cos(\text{A}\hat{\text{B}}\text{E}) = \frac{(15/2)}{\text{AB}} \text{ , ou } \cos(30^\circ) = \frac{(15/2)}{\text{AB}} \text{ , ou ainda } \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(15/2)}{\text{AB}}.
Logo, \text{AB} = \dfrac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}\text{ m} .
[Figura: Esquema em linhas tracejadas do triângulo ABC com o segmento de reta pontilhado AE perpendicular ao lado BC no ponto médio E, dividindo BC em dois segmentos de medida 15/2, com os ângulos nos vértices B e C medindo 30°.]
Resposta: A distância entre A e B é igual a 5\sqrt{3}\text{ m} .
a'') Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, o ângulo \text{B}\hat{\text{A}}\text{C} mede 180 - 30 - 30 = 120^\circ . Além disso, o triângulo ABC é isósceles, de modo que \text{AB} = \text{AC} . Aplicando, então, a lei dois cossenos ao triângulo ABC, obtemos
\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2 - 2 \cdot \text{AB} \cdot \text{AC} \cdot \cos(\text{C}\hat{\text{A}}\text{B})\text{,}
15^2 = 2\text{AB}^2 - 2 \cdot \text{AB}^2 \cdot \cos(120^\circ)\text{,}
15^2 = 2\text{AB}^2 - 2 \cdot \text{AB}^2 \cdot (-1/2)\text{.}
Logo, 3\text{AB}^2 = 15^2 , donde \text{AB} = \dfrac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}\text{ m} .
Resposta: A distância entre A e B é igual a 5\sqrt{3}\text{ m} .
b) Aplicando, agora, a lei dos cossenos ao triangulo BCD, obtemos
\text{BD}^2 = \text{BC}^2 + \text{CD}^2 - 2 \cdot \text{BC} \cdot \text{CD} \cdot \cos(\text{B}\hat{\text{C}}\text{D}) = 15^2 + 10^2 - 2 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 1/2 = 175.
Logo, \text{BD} = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}\text{ m} .
[Figura: Triângulo BCD em linhas tracejadas, indicando o lado BC com medida 15, o lado CD com medida 10 e o ângulo no vértice C medindo 60°.]
Resposta: A distância entre B e D é igual a 5\sqrt{7}\text{ m} .
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