Questão 22 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2012
Seja dada a matriz
A = \begin{bmatrix} x & 2 & 0 \\ 2 & x & 6 \\ 0 & 6 & 16x \end{bmatrix},
em que x é um número real.
a) Determine para quais valores de x o determinante de A é positivo.
b) Tomando
C = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix},
e supondo que, na matriz A, x = -2, calcule B = AC.
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Resolução comentada
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a) Desenvolvendo o determinante pela primeira linha:
\det A = x\,(x\cdot 16x - 6\cdot 6) - 2\,(2\cdot 16x - 6\cdot 0) + 0 = 16x^3 - 36x - 64x = 16x^3 - 100x.
Fatorando:
\det A = 4x\,(4x^2-25) = 4x\,(2x-5)(2x+5).
O determinante é positivo quando x(2x-5)(2x+5)>0. As raízes são -\tfrac{5}{2}, 0 e \tfrac{5}{2}. O polinômio é de grau 3 com coeficiente líder positivo, então o sinal alterna entre as raízes, começando com - para x<-\tfrac52:
- x<-\tfrac52: negativo;
- -\tfrac52<x<0: positivo;
- 0<x<\tfrac52: negativo;
- x>\tfrac52: positivo.
\det A>0 para -\tfrac{5}{2}<x<0 ou x>\tfrac{5}{2}.
b) Com x=-2:
A=\begin{bmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 6 \\ 0 & 6 & -32 \end{bmatrix}.
Multiplicando cada linha de A pela coluna C:
- Linha 1: (-2)(3)+2\cdot 4+0\cdot(-1)=-6+8=2.
- Linha 2: 2\cdot 3+(-2)(4)+6\cdot(-1)=6-8-6=-8.
- Linha 3: 0\cdot 3+6\cdot 4+(-32)(-1)=24+32=56.
B=\begin{bmatrix} 2 \\ -8 \\ 56 \end{bmatrix}
Assuntos: determinante de matriz 3x3, inequação polinomial, produto de matrizes.
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