Questão 21 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2012

1º dia · Matemática

Uma bateria perde permanentemente sua capacidade ao longo dos anos. Essa perda varia de acordo com a temperatura de operação e armazenamento da bateria. A função que fornece o percentual de perda anual de capacidade de uma bateria, de acordo com a temperatura de armazenamento, T (em ^\text{o}\text{C}), tem a forma

P(T) = a \cdot 10^{bT},

em que a e b são constantes reais positivas. A tabela abaixo fornece, para duas temperaturas específicas, o percentual de perda de uma determinada bateria de íons de Lítio.

Temperatura (^\text{o}\text{C})	Perda anual de capacidade (%)
0	1,6
55	20,0

Com base na expressão de P(T) e nos dados da tabela,

a) esboce, abaixo, a curva que representa a função P(T), exibindo o percentual exato para T = 0 e T = 55;

b) determine as constantes a e b para a bateria em questão. Se necessário, use \log_{10}(2) \approx 0{,}30, \log_{10}(3) \approx 0{,}48 e \log_{10}(5) \approx 0{,}70.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) A função \text{P}(\text{T}) é exponencial e tem coeficientes a e b positivos. A curva desejada passa pelos pontos (0,\ 1{,}6) e (55,\ 20), como mostra o gráfico ao lado.

Resposta: Um esboço da curva é apresentado no gráfico ao lado.

[Figura: Gráfico cartesiano em malha quadriculada com o eixo vertical P(T) variando de 0 a 50 (marcas de 10 em 10) e o eixo horizontal T variando de 0 a 70 (marcas de 10 em 10). Uma curva exponencial estritamente crescente parte do ponto destacado (0;\ 1{,}6), passa pelo ponto destacado (55;\ 20) e segue crescendo até cruzar a linha de \text{T} = 70 um pouco acima de 40 e atingir aproximadamente \text{P}(\text{T}) = 50 na borda direita.]

b) Sabemos que \text{P}(0) = 1{,}6. Assim, \text{a} \cdot 10^{\text{b}0} = 1{,}6 , de modo que \text{a} = 1{,}6.

Da mesma forma, \text{P}(55) = 1{,}6 \cdot 10^{\text{b}55} , donde

1{,}6 \cdot 10^{55\text{b}} = 20\text{ ,}

10^{55\text{b}} = \frac{20}{1{,}6} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}\text{ ,}

\log(10^{55\text{b}}) = \log\left(\frac{25}{2}\right)\text{.}

Logo, 55\text{b} = 2\log(5) - \log(2) , de modo que 55\text{b} = 2 \cdot 0{,}7 - 0{,}3 = 1{,}1. Assim, temos \text{b} = 1{,}1/55 = 1/50.

Resposta: As constantes são a = 1,6 e b = 1/50.

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Questão 21 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2012