Questão 17 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2012

1º dia · Matemática

Um brilhante é um diamante com uma lapidação particular, que torna essa gema a mais apreciada dentre todas as pedras preciosas.

a) Em gemologia, um quilate é uma medida de massa, que corresponde a 200\text{ mg}. Considerando que a massa específica do diamante é de aproximadamente 3{,}5\text{ g/cm}^3, determine o volume de um brilhante com 0{,}7 quilate.

b) A figura ao lado apresenta a seção transversal de um brilhante. Como é muito difícil calcular o volume exato da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pela soma do volume de um tronco de cone (parte superior) com o de um cone (parte inferior). Determine, nesse caso, o volume aproximado do brilhante.

Seção transversal de um brilhante simétrica em relação a um eixo de simetria vertical tracejado. A parte superior (tronco de cone) tem altura de 0,6 mm e raio do topo de 1 mm. A parte inferior (cone) tem altura de 1,8 mm. O raio da base intermediária compartilhada mede 2 mm.

Dica: o volume de um tronco de cone pode ser obtido empregando-se a fórmula

V = \frac{\pi}{3}h(R^2 + Rr + r^2),

em que R e r são os raios das bases e h é a altura do tronco.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) Se 1 quilate corresponde a 200 mg, então 0,7 quilate corresponde a 0{,}7 \cdot 200 = 140\text{ mg} = 0{,}14\text{ g}. Como cada \text{cm}^3 de diamante tem 3,5 g, podemos escrever

\frac{3{,}5\text{ g}}{1\text{ cm}^3} = \frac{0{,}14\text{ g}}{x},

donde 3{,}5x = 0{,}14, ou x = 0{,}14/3{,}5 = 0{,}04\text{ cm}^3.

Resposta: Um brilhante de 0,7 quilate tem \mathbf{0{,}04\text{ cm}^3}, ou \mathbf{40\text{ mm}^3}.

b) A parte superior do brilhante é um tronco de cone com R = 2\text{ mm}, r = 1\text{ mm} e h = 0{,}6\text{ mm}. Logo, seu volume é

V_{\text{T}} == \frac{\pi}{3}h(R^2 + Rr + r^2) = \frac{\pi}{3} 0{,}6(2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2) = 1{,}4\pi\text{mm}^3.

Por sua vez, a parte inferior do brilhante é um cone com 1,8 mm de altura e raio da base igual a 2 mm. Assim, o volume da parte inferior é dado por

V_{\text{C}} = \frac{\pi}{3}hR^2 = \frac{\pi}{3} 1{,}8 \cdot 2^2 = 2{,}4\pi\text{mm}^3.

Logo, o volume total é igual a V_{\text{T}} + V_{\text{C}} = 1{,}4\pi + 2{,}4\pi = 3{,}8\pi\text{ mm}^3.

Resposta: O brilhante tem volume aproximado de \mathbf{3{,}8\pi\text{ mm}^3}.

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Questão 17 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2012