O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura abaixo mostra o velocímetro de um carro que pode atingir . Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário à medida que a velocidade aumenta. a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional à velocidade. Nesse caso, qual é o ângulo entre a posição atual do ponteiro ( ) e sua posição quando o velocímetro marca ? b) Determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega a , mas indica que o veículo está a quando a velocidade real é de . Supondo que o erro de aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função que representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de .

Questão 13 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2012

1º dia · Matemática

O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura abaixo mostra o velocímetro de um carro que pode atingir 240\ \text{km/h}. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário à medida que a velocidade aumenta.

Diagrama de um velocímetro indicando a escala de 0 a 240 km/h ao longo de um arco circular de 210°, com uma seta indicando o giro em sentido horário do ponteiro posicionado no 0.

a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional à velocidade. Nesse caso, qual é o ângulo entre a posição atual do ponteiro (0\ \text{km/h}) e sua posição quando o velocímetro marca 104\ \text{km/h}?

b) Determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega a 20\ \text{km/h}, mas indica que o veículo está a 70\ \text{km/h} quando a velocidade real é de 65\ \text{km/h}. Supondo que o erro de aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de x\ \text{km/h}.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) Como o ângulo de giro do ponteiro é diretamente proporcional à velocidade, podemos escrever

\frac{210^\circ}{240\text{ km}} = \frac{x}{104\text{ km}}.

Desse modo, x = 104 \cdot 210 / 240 = 91^\circ.

Resposta: O ângulo mede 91°.

b) A função pedida tem a forma v(x) = ax + b, em que a e b são constantes reais. Sabemos que o gráfico de uma função linear é a uma reta cuja inclinação é a e cujo ponto de interseção com o eixo-y é (0, b). Assim, sabendo que a reta passa pelos pontos (20, 20) e (70, 65), encontramos o coeficiente a escrevendo

a = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)} = \frac{(65 - 20)}{(70 - 20)} = \frac{45}{50} = 0{,}9.

De posse de a, encontramos b usando um dos pontos dados. Tomando o ponto (20, 20), temos

\begin{aligned} v(20) &= a \cdot 20 + b \\ 20 &= 0{,}9 \cdot 20 + b \\ b &= 20 - 18 = 2. \end{aligned}

Resposta: A função é v(x) = 0,9x + 2.

b') A função pedida tem a forma v(x) = ax + b. Como a reta passa pelos pontos (20, 20) e (70, 65), temos o seguinte sistema linear

\begin{cases} 20a + b &=& 20 \\ 70a + b &=& 65 \end{cases}

Subtraindo a primeira linha da segunda obtemos 50a = 45, donde a = 9/10. Substituindo, agora, o valor de a na primeira equação, obtemos 20.9/10 + b = 20. Desse modo, b = 20 - 18 = 2.

Resposta: A função é v(x) = 0,9x + 2.

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Questão 13 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2012