Questão 9 da UFPR 2026

A ideia é usar as propriedades dos logaritmos para eliminar os \log e obter equações algébricas. Para isso, x>0 e y>0.

1. Na primeira equação, isole os logaritmos: \log_3(3y-1)-\log_3 x=2. Pela propriedade do quociente, \log_3\frac{3y-1}{x}=2, ou seja, \frac{3y-1}{x}=3^2=9. Logo, 3y-1=9x.

2. Na segunda equação, 2\log_2 y=\log_2 y^2 e 2=\log_2 4. Então \log_2 y^2=\log_2 4+\log_2 x=\log_2 4x. Logo, y^2=4x, ou seja, x=\frac{y^2}{4}.

3. Substitua x na primeira relação: 3y-1=\frac{9y^2}{4}. Multiplicando por 4: 12y-4=9y^2, ou seja, 9y^2-12y+4=0.

4. Isso é (3y-2)^2=0, então y=\frac{2}{3}.

5. Calcule x=\frac{(2/3)^2}{4}=\frac{4/9}{4}=\frac{1}{9}.

6. Assim, \frac{y}{x}=\frac{2/3}{1/9}=\frac{2}{3}\cdot 9=6.

Conferindo na primeira equação: 3y-1=1, então \log_3 1=0, e 2+\log_3\frac19=2-2=0. Confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhum resultado coerente do sistema; y/x=6 para a única solução y=2/3, x=1/9.
• BValor sem relação com a solução; resulta de erro ao passar os logaritmos para a forma exponencial.
• CAparece se esquecer que 2=\log_3 9 e usar 3 no lugar de 9 na primeira equação.
• DValor sem base na solução do sistema, provavelmente de erro na equação do segundo grau.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Equação do 2º grau.

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