PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 da UFPR 2026

1ª fase · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Considere o paralelogramo ABCD ilustrado na figura ao lado. Sejam M o ponto médio do lado CD e N o ponto comum aos segmentos AC e BM. Sabendo que a medida do segmento AN é igual a \frac{4}{3}, assinale a alternativa que corresponde à medida da diagonal AC.

Paralelogramo ABCD, com A no vértice inferior esquerdo, B no inferior direito, C no superior direito e D no superior esquerdo. O ponto M está no lado CD. A diagonal AC e o segmento BM se cruzam no ponto N.

  1. A
    2
  2. B
    4
  3. C
    5/3
  4. D
    3
  5. E
    8/3
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Resolução comentada

Como ABCD é paralelogramo, AB \parallel CD. Assim, AB é paralelo a MC, que está sobre CD.

Os triângulos ABN e CMN são semelhantes (caso AA):

  • \angle BAN = \angle MCN (alternos internos, com AC como transversal);
  • \angle ANB = \angle CNM (opostos pelo vértice).

Na semelhança, a razão entre lados correspondentes é constante:

\frac{AN}{NC}=\frac{AB}{CM}
  1. M é ponto médio de CD, então CM=\dfrac{CD}{2}.
  2. Em paralelogramo, AB=CD, logo AB = 2\,CM.
  3. Portanto \dfrac{AN}{NC}=2, isto é, AN = 2\,NC.
  4. Com AN=\dfrac{4}{3}: NC=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}.
  5. A diagonal inteira é
AC = AN + NC = \frac{4}{3}+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2

Conferindo: AN é \frac{2}{3} de AC, e \frac{2}{3}\cdot 2=\frac{4}{3}, o que bate com o enunciado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BDobra o valor de AN ou usa NC=AN, ignorando a razão 2:1.
  • CErra a proporção ao tomar AN como fração diferente de 2/3 da diagonal.
  • DUsa AN = \frac{4}{9}AC ou razão 3:1, sem fundamento na semelhança.
  • ESoma AN com AN\cdot 1 ou toma AN como metade da diagonal, quando AN é 2/3 dela.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Fonte: UFPR 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗