PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 da UFPR 2024

1ª fase · Matemática: Cone e tronco de cone

Um cone circular reto S é dividido por dois planos paralelos à sua base, formando três sólidos S_1, S_2 e S_3, conforme a figura ao lado. Os volumes de S_1, S_2 e S_3, nessa ordem, estão em progressão geométrica com razão q > 1. O quociente entre o raio do cone S e o raio do cone menor S_1 é igual a \sqrt[3]{7}. Assinale a alternativa que corresponde à razão q.

Parte inferior de um cone circular reto S dividido por dois planos paralelos à base. Estão visíveis os sólidos S₂ e S₃, o plano inferior e parte do plano superior. As circunferências das seções e da base têm suas partes posteriores tracejadas. O recorte também contém, à esquerda, as alternativas D) 5 e E) 7.

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. D
    5
  5. E
    7
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Resolução comentada

Cones semelhantes têm volumes na razão do cubo da razão de semelhança. O cone S e o cone pequeno S_1 são semelhantes, e a razão entre os raios é \sqrt[3]{7}. Então:

\frac{V(S)}{V(S_1)}=\left(\sqrt[3]{7}\right)^3=7

Chamando V(S_1)=a, os volumes dos sólidos estão em PG: S_1=a, S_2=aq, S_3=aq^2.

  1. O volume total do cone S é a soma dos três sólidos: V(S)=a+aq+aq^2.
  2. Como V(S)=7a, temos a(1+q+q^2)=7a.
  3. Dividindo por a: 1+q+q^2=7, ou seja, q^2+q-6=0.
  4. Resolvendo: \Delta=1+24=25, então q=\dfrac{-1\pm5}{2}, que dá q=2 ou q=-3.

Como q>1, fica q=2.

Conferindo: volumes a, 2a, 4a, somando 7a. Está correto.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem toma a razão 7 entre o volume de S e o de S_1 como se fosse a razão q da progressão.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResolve a equação sem checar: q=3 daria soma 1+3+9=13, não 7.
  • CCom q=4 a soma seria 1+4+16=21, e não 7.
  • DCom q=5 a soma seria 31; não satisfaz 1+q+q^2=7.
  • EConfunde a razão de volumes do cone todo (7) com a razão q da PG.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Progressão geométrica.

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Fonte: UFPR 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗