PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 da UFPR 2024

1ª fase

Um bolo é retirado do forno e começa a resfriar segundo a expressão T(t) = 30 + 150a^{-0,05\text{ }t}, com a > 1, sendo T a temperatura do bolo e t o tempo decorrido em minutos. Assinale a alternativa que corresponde ao tempo em que o bolo atingirá a metade da temperatura inicial que apresentava quando foi retirado do forno em t = 0. (Use se necessário \log_a 2 = 0{,}7 e \log_a 5 = 1{,}6).

  1. A
    10 minutos
  2. B
    12 minutos
  3. C
    16 minutos
  4. D
    18 minutos
  5. E
    22 minutos
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Resolução comentada

Primeiro, ache a temperatura inicial, fazendo t=0 (lembre que a^0=1):

T(0)=30+150\cdot 1=180

A metade dessa temperatura é 90. Queremos o t tal que T(t)=90.

  1. Monte a equação: 30+150a^{-0{,}05t}=90.
  2. Isole a exponencial: 150a^{-0{,}05t}=60, logo a^{-0{,}05t}=\dfrac{60}{150}=\dfrac{2}{5}.
  3. Aplique \log_a nos dois lados. O expoente desce: -0{,}05t=\log_a\dfrac{2}{5}.
  4. Use a propriedade do quociente: \log_a\dfrac{2}{5}=\log_a 2-\log_a 5=0{,}7-1{,}6=-0{,}9.
  5. Resolva: -0{,}05t=-0{,}9, então t=\dfrac{0{,}9}{0{,}05}=18.

O bolo chega a 90 graus após 18 minutos.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo; t=10 daria T bem acima de 90.
  • BErro de conta ao dividir ou ao combinar os logaritmos; t=12 não satisfaz T(t)=90.
  • CNão resulta do cálculo correto; t=16 não satisfaz T(t)=90.
  • EErro de conta ao combinar os logaritmos ou ao dividir por 0{,}05; t=22 não satisfaz T(t)=90.

Assuntos: função exponencial, logaritmos, propriedades dos logaritmos.

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Fonte: UFPR 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗