PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 72 da UFPR 2017

1ª fase · Matemática: Função exponencial

Suponha que a quantidade Q de um determinado medicamento no organismo t horas após sua administração possa ser calculada pela fórmula:

Q = 15 \boldsymbol{\cdot} \left(\frac{1}{10}\right)^{2t}

sendo Q medido em miligramas. A expressão que fornece o tempo t em função da quantidade de medicamento Q é:

  1. A
    t = \log \sqrt{\frac{15}{Q}}
  2. B
    t = \frac{\log 15}{2 \log Q}
  3. C
    t = 10 \sqrt{\log\left(\frac{Q}{15}\right)}
  4. D
    t = \frac{1}{2} \log \frac{Q}{15}
  5. E
    t = \log \frac{Q^2}{225}
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Resolução comentada

Queremos isolar t, que está no expoente. Para isso, usamos o logaritmo na base 10.

  1. Divida por 15: \frac{Q}{15} = \left(\frac{1}{10}\right)^{2t} = 10^{-2t}.

  2. Aplique \log (base 10) nos dois lados. Como \log 10^{x} = x:

\log\frac{Q}{15} = -2t
  1. Isole t:
t = -\frac{1}{2}\log\frac{Q}{15}
  1. Use a propriedade -\log a = \log a^{-1} = \log\frac{1}{a}, que inverte a fração:
t = \frac{1}{2}\log\frac{15}{Q}
  1. Passe o \frac{1}{2} para dentro como expoente, pois \frac{1}{2}\log a = \log a^{1/2}:
t = \log\left(\frac{15}{Q}\right)^{1/2} = \log\sqrt{\frac{15}{Q}}

Isso coincide com a primeira alternativa. Teste rápido: para t=0, Q=15 e a fórmula dá \log 1 = 0, correto.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem ignora que a base é \frac{1}{10}, não 10, e perde o sinal negativo ao isolar t.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Btrata o logaritmo de uma potência como quociente de logaritmos, o que não é propriedade válida aqui.
  • Ccoloca raiz fora do logaritmo e multiplica por 10, sem base em nenhuma propriedade.
  • Desquece o sinal negativo do expoente -2t, deixando Q/15 em vez de 15/Q.
  • Eeleva ao quadrado em vez de extrair a raiz e também não inverte a fração.

Assuntos: Função exponencial, Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: UFPR 2017 · 1ª fase. Prova oficial ↗