Questão 61 da UFPR 2016

Question

Considere o gráfico da função f(x) = \log_2 x e a reta r que passa pelos pontos A e B, como indicado na figura ao lado, sendo k a abscissa do ponto em que a reta r intersecta o eixo Ox. Qual é o valor de k?

Gráfico no plano cartesiano da função f(x) = log₂x e da reta r. A reta r intersecta a curva da função nos pontos B, de abscissa 0,25, e A, de abscissa 2, e intersecta o eixo x no ponto de abscissa k.

A
17/12.
B
14/11.
C
12/7.
D
11/9.
E
7/4.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 61 da UFPR 2016

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Considere o gráfico da função f(x) = \log_2 x e a reta r que passa pelos pontos A e B, como indicado na figura ao lado, sendo k a abscissa do ponto em que a reta r intersecta o eixo Ox. Qual é o valor de k?

Gráfico no plano cartesiano da função f(x) = log₂x e da reta r. A reta r intersecta a curva da função nos pontos B, de abscissa 0,25, e A, de abscissa 2, e intersecta o eixo x no ponto de abscissa k.

A
17/12.
B
14/11.
C
12/7.
D
11/9.
E
7/4.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os pontos A e B estão sobre a curva, então suas ordenadas vêm de f(x)=\log_2 x.

Ponto A, com x=2: y=\log_2 2=1, logo A=(2,\,1).
Ponto B, com x=0{,}25=2^{-2}: y=\log_2 2^{-2}=-2, logo B=(0{,}25,\,-2).

O coeficiente angular da reta r é a variação de y dividida pela variação de x:

m=\frac{1-(-2)}{2-0{,}25}=\frac{3}{1{,}75}=\frac{3}{7/4}=\frac{12}{7}

A equação da reta, usando o ponto A, é:

y-1=\frac{12}{7}(x-2)

O ponto onde a reta cruza o eixo Ox tem y=0. Substituindo:

-1=\frac{12}{7}(k-2)\Rightarrow k-2=-\frac{7}{12}\Rightarrow k=2-\frac{7}{12}=\frac{24-7}{12}=\frac{17}{12}

Conferindo com a figura: 17/12\approx 1{,}42, que fica entre 0{,}25 e 2, como no desenho.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana porque 12/7 é o coeficiente angular da reta, resultado intermediário que o aluno pode confundir com k.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com a equação da reta; não resulta de nenhum cálculo coerente com A e B.
CÉ o coeficiente angular 12/7 da reta, não a abscissa do ponto onde ela corta o eixo.
DResulta de erro no cálculo do coeficiente angular ou na resolução de y=0.
EValor que não satisfaz a equação da reta para y=0; provável erro ao calcular 2-0{,}25.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Logaritmos e função logarítmica.

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Questão 61 no caderno 1ª fase da UFPR 2016

Fonte: UFPR 2016 · 1ª fase. Prova oficial ↗