PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 da UFPR 2011

1ª fase · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. A altura do suporte em B é, então, de:

Esquema de um telhado reto inclinado, representado por uma faixa hachurada que sobe da esquerda para a direita, sobre três suportes verticais nos pontos A, B e C de uma base horizontal. O suporte em A tem altura indicada de 4 m e o suporte em C, de 6 m. A distância horizontal entre A e B é 12 m, e entre B e C é 8 m. A altura do suporte em B não está indicada.

  1. A
    4{,}2 metros.
  2. B
    4{,}5 metros.
  3. C
    5 metros.
  4. D
    5{,}2 metros.
  5. E
    5{,}5 metros.
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O telhado é reto, então o topo dos suportes está sobre uma mesma reta inclinada. Os triângulos retângulos formados pela reta e pela base horizontal são semelhantes, e a altura cresce de modo proporcional à distância horizontal percorrida (é uma função afim).

De A até C a distância horizontal é 12 + 8 = 20\ \text{m}, e a altura sobe de 4 para 6, ou seja, 6 - 4 = 2\ \text{m}.

De A até B a distância é 12\ \text{m}. Chamando de x o aumento de altura entre A e B, a proporção é:

  1. \dfrac{x}{12} = \dfrac{2}{20}
  2. x = \dfrac{12 \cdot 2}{20} = \dfrac{24}{20} = 1{,}2\ \text{m}

A altura do suporte em B é a altura em A mais esse aumento:

h_B = 4 + 1{,}2 = 5{,}2\ \text{m}

Conferindo: de B até C faltam 8\ \text{m}, que dariam \frac{8\cdot 2}{20} = 0{,}8\ \text{m}, e 5{,}2 + 0{,}8 = 6, que bate com o suporte em C.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C (5 m) engana quem faz a média de 4 e 6 sem notar que B não está no meio de AC.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Asoma apenas parte do aumento (0,2 m), sem fazer a proporção correta com 12 e 20.
  • Btoma a média simples de 4 e 5 ou algo próximo, ignorando que B não está no ponto médio de AC.
  • Cusa a média de 4 e 6, que valeria se B fosse o ponto médio, mas B está a 12 m de A e 8 m de C.
  • Einverte as distâncias, usando 8/20 do aumento (0,8 m) em vez de 12/20, e ainda erra a soma.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Fonte: UFPR 2011 · 1ª fase. Prova oficial ↗